古希腊的数学史话

古希腊的地理范围不仅包括现在的希腊半岛，还包括整个爱琴海地区和北部的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚。公元前5世纪和6世纪，尤其是希腊和波兰战争之后，雅典取得了希腊城邦的领先地位。它的经济生活非常繁荣，生产力显著提高。在此基础上，它产生了灿烂的希腊文化，并对后世产生了深远的影响。

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。从爱奥尼亚学派到柏拉图学派的第一个时期是从公元前7世纪中期到公元前3世纪。第二阶段是亚历山大的早期，从欧几里得到公元前146年，希腊被困在罗马。第三个时期是亚历山大的晚期，即罗马统治时期，结束于641年，当时亚历山大被阿拉伯人占领。

从古埃及和巴比伦的衰落到希腊文化的繁荣，这一过渡时期留下的数学史料很少。然而，希腊数学的兴起与希腊商人通过旅行接触古代东方文化密切相关。

爱奥尼亚位于小亚细亚的西岸。比希腊其他地方更容易吸收古巴比伦和埃及等古代国家积累的经验和文化。在爱奥尼亚，氏族贵族被商人的统治所取代。商人具有很强的流动性，这有利于思想的*和大胆发展。城邦内部的斗争有助于摆脱传统信仰。希腊没有特殊的祭司阶级，也没有必须遵守的教条，因此它有相当程度的思想*。这大大有助于将科学和哲学与宗教分开。

米利都是爱奥尼亚最大的城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯被公认为希腊哲学的创始人。早年作为一名商人，他去过巴比伦、埃及和其他地方，并很快学会和发展了古代流传下来的知识。后来，为了摆脱宗教，从自然现象中寻求真理，并把水作为万物之根，爱奥尼亚哲学学派成立了。

当时天文学、数学和哲学是不可分割的。泰勒斯也研究天文学和数学。他预测日食将会停止米泰(现在在黑海和里海南部)和莉迪亚(现在在土耳其西部)之间的战争。大多数学者认为日食发生在公元前585年5月28日。当他在埃及时，他用太阳阴影和比例关系来计算金字塔的高度，这使法老大为吃惊。

泰勒斯对数学的贡献就是这个命题的证明，它标志着人们对客观事物的理解从感性上升到理性，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。爱奥尼亚学派的著名学者包括阿纳克·西曼德和阿纳克·西米尼。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

毕达哥拉斯出生于公元前580年左右的萨摩斯，为了摆脱暴政，他搬到了意大利半岛南部的克罗顿。一个由政治、宗教、哲学和数学组成的秘密团体将在那里成立。后来它在政治斗争中被摧毁，毕达哥拉斯被杀害，但他的学校仍然存在了两个世纪。

毕达哥拉斯学派试图用数字来解释一切，不仅相信一切都包括数字，还说一切都是数字。他们因西方毕达哥拉斯定理的发现而闻名，这导致了不可通约量的发现。

这个学派的另一个特点是算术和几何紧密相连。他们发现了一个公式，用三个正整数来表示直角三角形三条边的长度，并注意到从1开始连续的奇数和平方不仅是算术问题，而且与几何有关。他们还发现了五个正多面体。

爱奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派明显不同。前者学习数学不仅是为了哲学兴趣，也是为了实用目的。然而，后者不注重实际应用，把数学与宗教联系起来，想通过数学探索永恒的真理。

公元前5世纪，雅典成为人们聚集的中心。人们提倡开放的精神。在公开讨论或辩论中，一个人必须具备口才、修辞、哲学、数学等知识。于是，“智人学派”应运而生。他们专门教授语法、逻辑、数学、天文学、修辞学、口才和其他学科。从数学上讲，他们提出了“三大问题”:任意角度三等分；次立方体，找到一个立方体，使其体积是已知立方体的两倍；把一个圆变成一个正方形，找到一个正方形，使它的面积等于一个已知的圆。这些问题的难点是只允许用尺子(没有刻度的尺子)和圆规来绘图。

希腊人民的兴趣不在于实际绘制数字，而在于在统治者规则的限制下从理论上解决这些问题。这是几何从实际应用向系统理论过渡的重要一步。

该学派的安提芬提出用“穷竭法”来解决圆变成方的问题，这是现代极限理论的雏形。首先画一个正方形内切圆，然后每次将边数加倍，得到8，16，32，...侧面形状。安蒂芬确信“最终”多边形和圆之间的“差异”将“用尽”。这为圆面积的计算提供了一种近似方法，与刘辉的截圆思想相吻合。

公元前3世纪，柏拉图在雅典建立了一所学校，并建立了一个学校花园。他非常重视数学，但片面强调数学在培养智力中的作用，而忽视了它的实用价值。他主张通过几何学习来培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的视觉印象，并在具体的图形中体现抽象的逻辑规律。

该学派培养了许多数学家，如研究柏拉图和创立比例理论的欧几里德，是欧几里德的先驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代哲学家和形式逻辑的创始人。他的逻辑思想为几何在未来被安排在一个严密的逻辑系统中开辟了道路。

这一时期的希腊数学中心也有以芝诺为代表的埃利亚斯学派，该学派提出了四个悖论，引起了学术界的极大震惊。四个悖论是:

简而言之，从一个地方到另一个地方，有一样东西是永远无法到达的。因为如果你想从一个地方到另一个地方，你必须先走一半的路，但是如果你想走完这一半，你必须先走一半的路，然后你就没有尽头了。结论是，这个物体的运动被道路的无限分割所阻碍，根本无法前进。阿基琉斯(一个优秀的赛跑英雄)追赶乌龟，并说阿基琉斯永远也追不上乌龟。因为当他追上乌龟的起点时，乌龟已经向前爬了一会儿，当他完成这一段后，乌龟向前爬了一会儿。如果这种情况永远重复，它将永远不会赶上。箭是静止的，表示箭总是在某个位置，所以它不会移动。在操场问题上，芝诺证明了时间等于时间的一半。

德谟克利特所代表的原子论学派认为线段、面积和固体是由许多不可分割的原子组成的。计算面积和体积相当于组装这些原子。这种不太严格的推理方法是古代数学家发现新结果的重要线索。

公元前4世纪后，希腊数学逐渐脱离哲学和天文学，成为一门独立的学科。数学史就这样进入了一个新的阶段——初等数学。

这一时期的特点是数学(主要是几何)已经建立了自己的理论体系，从基于实验和观察的经验科学到演绎科学。从几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列定理。这是希腊数学的基本精神。

在此期间，初等几何和算术初等代数通常成为独立的学科。与17世纪出现的解析几何和微积分相比，这一时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，所以称之为初等数学时期。

埃及的亚历山大是东西方之间的海上和陆地交通枢纽，并通过托勒密的管理逐渐成为一个新的希腊文化中心。希腊自己此时已经退居二线。几何学首先在埃及萌芽，然后移植到爱奥尼亚，然后在意大利和雅典繁荣起来，最后回到它的诞生地。经过这么多的培育，我们已经到达了茂盛森林的位置。

从公元前4世纪到公元前146年古希腊的灭亡和罗马成为地中海地区的统治者，以亚历山大为中心的希腊数学达到了全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术氛围，来自世界各地的学者聚集在这里进行教学和研究。其中，三位数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗纽斯在亚历山大的早期取得了最大的成就。

欧几里德的《元素》是一部划时代的作品。它的重大历史意义在于它是用公理化方法建立演绎系统的最早模型。过去积累的数学知识是零碎的，可以和砖、瓦、木、石相比。只有通过逻辑的方法，才能对这些知识进行组织、分类和比较，才能揭示它们之间的内在联系，才能把它们组织成一个严密的系统，才能建成一座宏伟的建筑。《几何原本》体现了这种精神，对数学的发展产生了深远的影响。

阿基米德是物理学家和数学家。他善于将抽象理论与工程技术的具体应用相结合。他还在实践中洞察事物的本质，并通过严格的论证使经验事实上升为理论。根据力学原理，他探索并解决了面积和体积的问题，其中已经包含了整合理论的初步设想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是他对圆锥曲线的深入研究。

除了这三位数学家之外，厄拉多塞还以他的大地测量学和他的“主筛”而闻名。天文学家希帕克的“弦表”是三角学的先驱。

公元前146年后，罗马统治下的亚历山大学者能够继承前人的工作并继续创造发明。海伦(约公元62年)、墨涅劳斯(约公元100年)、帕普斯等人都做出了重要贡献。天文学家托勒密整理了希帕克的工作，奠定了三角学的基础。

晚期希腊学者在算术和代数方面也取得了巨大成就。代表人物是妮可·霍斯(约公元100年)和丢番图(约公元250年)。前者来自杰拉什(现在的约旦北部)。《算术导论》的作者，后者的《算术》是关于数论的，而且大部分内容都可以归入代数范畴。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中是独一无二的。它对后世影响很大，仅次于几何学的原始。

公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始将宗教作为其统治的工具，将所有的学术研究置于基督教神学的控制之下。

公元529年，东罗马皇帝贾丝汀下令关闭雅典的柏拉图学院和其他学校，禁止数学教学。许多希腊学者逃到叙利亚、波斯等地。数学研究受到重创。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。希腊数学走到了尽头。