从笛卡尔到庞加莱——法国数学的人文主义传统

在德国数学家高斯的传记中，作者引用了以下一段话:

一个在巴黎的陌生人问当地人，“为什么你们国家的历史上有这么多伟大的数学家？”

巴黎人回答说:“我们最好的人学习数学。”

他问法国数学家，“为什么你的国家在数学方面一直享有盛誉？”

数学家回答说:“数学是我们传统文化中最好的部分。”

笛卡尔之前的法国数学

在中世纪之前，数学方面的成就主要是在一些古代文明中取得的，如埃及、美索不达米亚、中国、印度和阿拉伯，当然还有希腊。诚然，没有希腊人的贡献，数学不会像现在这样丰富多彩。在延续了1000多年的中世纪，欧洲似乎只有一位伟大的数学家——斐波那契。以他的名字命名的兔子序列仍然在数学领域闪耀。在欧洲以外，最著名的数学家是巴格达的库拉齐米。是他给代数命名的。在阿拉伯语中，al-jabr的意思是恢复被转移的术语，在被翻译成拉丁语后，它变成了alguebra，在今天的英语中也是代数。

14世纪是黑死病在欧洲盛行的时代，它摧毁了近四分之一的人口，并且在数学上成绩不佳。然而，疾病和战争有时会改变文明的模式。法国已经开始崛起，并逐渐在世界文明中领先。本世纪最重要的数学家被认为是法国数学家。他写了五本数学书，这些书和他的翻译一样优美，并对科学修辞学和法国散文做出了贡献。奥拉西第一个使用分数索引，第一个使用坐标来确定点的位置，这预示了现代坐标几何，并影响了许多数学家，包括笛卡尔。

欧洲的文艺复兴始于15世纪，但数学的进步仍然不大。当时最杰出的数学家是法国的丘凯，16世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达。文艺复兴初期，法国数学达到了世界先进水平。正是在那个时期，初等数学(今天)基本上成熟了。同时，它也为现代数学和科学的全面发展奠定了较为坚实的基础。

笛卡尔与天才的世纪

笛卡尔出生之前，意大利人处于世界文明进程的最前沿。他们在数学和科学方面也处于领先地位。塔尔塔·里亚(口吃者)和卡尔达诺在研究三次和四次方程的解方面取得了突破。他们的综合成就不低于他们同时代的法国同行吠陀。然而，这两位数学家同事互相指责对方剽窃，导致了双方的损失。伽利略生于1564年，是意大利两所大学的数学教授。他的扇形圆规已经使用了两个世纪。同时，他对抛物性质和无穷集合的等价概念有正确的理解。他的数学天才和直觉帮助他建立了*落体的力学定律。他用自制的望远镜观察宇宙，证实了哥白尼的太阳系理论，但不幸的是，他遭到罗马教会的迫害，无缘无故地死去。

像大多数有天赋的人一样，笛卡尔出生在一个小地方。他年轻时母亲去世，他身体虚弱。他的父亲娶了另一个妻子，把他交给了他的祖母，后来又把他送到了拉弗莱契的一所教会学校。幸运的是，校长很有人情味，他看到了孩子身心的不同。他需要先锻炼身体。校长告诉笛卡尔，除非他想和其他学生一起去教室，否则他不必离开自己的房间。从那时起，笛卡尔就一直保持着晚起的习惯，包括当他还是一名士兵的时候，当他需要思考的时候，他躺在床上冥想。尽管笛卡尔身体虚弱，喜欢睡懒觉，但他是一名勇敢的士兵，被授予中将军衔，但他拒绝了。

笛卡尔在数学上的主要成就是建立了数学的一个分支——解析几何，他被黑格尔誉为“现代哲学之父”。作为一个二元论者，笛卡尔清楚地区分了精神和身体。心灵的作用在他著名的哲学命题“我思故我在”中得到表达。在方法论上，笛卡尔是一个完全的怀疑论者。对他来说，怀疑是哲学和心理学中必要的手段和工具。笛卡尔认为，我们从童年开始就接受了许多偏见，如果我们不及时纠正，这些偏见将会持续到成年。他进一步指出，“怀疑是一种艺术，它让我们摆脱了情感的影响。”

在笛卡尔的时代，他在数学方面有几个竞争对手。例如，费马法官一生都住在法国南部的一个山区小镇图卢兹，他被美国称为“业余数学家之王”。今天我们都知道“费马大定理”，这是毕达哥拉斯定理(毕达哥拉斯定理)的延伸和推广，尽管结论完全相反。直到上世纪末，英国数学家怀尔斯才最终证明了这个定理。据说在笛卡尔的一生中，他经常受到费马的挑战，比如在没有告知证明方法的情况下宣布发现某些数学定律。这些挑战有的是以书面形式提出的，有的是通过一位名叫梅森的牧师传达的。谈到这位神甫梅森，虽然他不是一位伟大的数学家(仅以梅森的素数命名)，但他是17世纪法国数学中不可或缺的人物。另一个是帕斯卡。据说帕斯卡12岁时，从未接受过任何相关的训练。他独自推导出几何学中的一个定理，即三角形的三个内角之和等于两个直角之和。从此，父亲开始教儿子欧几里德几何。不久，父亲和儿子参加了由梅森神父组织的数学沙龙。帕斯卡的主要数学成就包括创立概率论(与费马合作)、二项式系数和射影几何中的帕斯卡定理(圆锥曲线内切角的三组对边的交点共线)。

除了他在数学方面的成就，帕斯卡还发明了计算机(最初设计用来帮助他的父亲进行税务计算)和流体压力定律(液压机就是这一定律的应用)。计算机中的帕斯卡语言和天气预报中的大气压力单位帕斯卡都取自他的名字。在人文和哲学领域，帕斯卡取得了同样非凡的成就。他的散文《思想》被认为是所有法国文学中的瑰宝。在宗教中，他宣扬上帝可以通过头脑而不是通过理性来体验。他建立的直觉主义原则影响了后来的卢梭、实用主义和存在主义哲学家。

成名后，帕斯卡和笛卡尔都选择了隐居。笛卡尔说，“我只想要和平与宁静。”与笛卡尔和帕斯卡的多才多艺相比，费马把他所有的智慧都贡献给了数论。当然，这与费马的职业生涯和养家糊口有关。但我认为更重要的是，费马、高斯和欧拉这三位对数论做出杰出贡献的数学家，已经对数论的美感到满意，所以他们不需要从艺术、哲学或宗教中寻求营养。从毕达哥拉斯时代开始，人们就沉迷于发现数字之间的神秘关系。优雅、简洁和智慧是这门科学的特征。我记得希尔伯特的传记作者在谈到大师从代数不变理论转向数论研究时写道，“数学中没有哪个领域能像数论一样，以其美丽、不可抗拒的力量吸引数学家的本质。”画家康定斯基也认为:“数字是各种艺术的最终抽象表达。”

从费尔马到庞加莱

自从费马在1665年去世后，法国数学界已经沉默了半个世纪。自17世纪20年代以来，一系列数学家相继诞生，几乎每七八年一次。他们每个人都取得了非凡的成绩。如果放在其他国家，他们可能会成为这个国家历史上最伟大的数学家。法国人也为此感到自豪。其中，七位数学家是达·兰伯、拉格朗日、拉普拉斯、、、柯西和伽罗瓦。

“天才伽罗瓦死后20多年，法国又有了一位伟大的数学家。他就是庞加莱，他最近引起了全世界公众的注意，因为他以他的名字命名的猜想已经被解决了。他的才华和成就跨越了科学和人文两大领域。庞加莱被认为是最后一个熟悉所有数学和应用数学的人。他的研究领域惊人地广泛，而且不断丰富。

庞加莱出生在法国东北部的一个小镇南希。他的父亲是一位著名的医生。庞加莱非凡的智慧不仅使他能够很快接受知识，而且口才也很好。他从小就被他才华横溢的母亲所教导。然而，不幸的是，他在五岁时患了白喉。从那时起，他变得虚弱，无法用口语流畅地表达自己的想法。然而，他仍然喜欢各种游戏，尤其是跳舞。他的阅读速度惊人，他能准确而持久地记住所读的内容。年轻的庞加莱擅长的学科包括文学、历史、地理、自然历史和自然历史。他对数学的兴趣来得晚，开始于15岁左右，但他很快就显示出非凡的天赋。不久，他被护送到巴黎综合工程学校(也就是说，伽罗瓦两次申请了一所失败的大学)并开始了他的数学生涯。

庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》。他是理想主义契约论哲学的代表人物。他认为公理可以从所有可能的契约中选择，但它们应该基于实验事实并避免所有矛盾。正是由于这些成就，他被选为法国科学院院士(后来成为总统)和法国科学院院士。他位于科学和人文两座金字塔的顶端。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，认为“只有通过科学和艺术，文明才能体现其价值”。

中国有望成为真正的数学强国

应该指出的是，本文中提到的法国数学家有一半与巴黎综合工程学院有关，而另一所巴黎高等师范学院也诞生于法国大革命时期，同名同姓，在上个世纪培养了八名菲尔兹奖获得者。可以说，正是笛卡尔继承了法国数学家的人文素质，使得数学在法国繁荣起来。值得一提的是，这种良好的氛围也培养了留在巴黎的德国人莱布尼茨。他从一个负有外交使命的秘密特使变成了一位伟大的数学家和哲学家。他耸人听闻的微积分是在巴黎发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同时也为法国数学增添了一个强有力的竞争者。伯比奇学校的诞生是在德国数学的压力和形势下产生的。

相比之下，在中国，虽然西汉有《周笔suan经》和《九章算术》，但祖冲之在南朝对圆周率的估计比世界领先1000多年，但仅限于实际计算，忽略了公理化构造和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学都跟不上时代的步伐。当这个国家重新开放时，我们终于意识到我们落后了，面临着许多困难。这其中当然有机制和学风的因素，但我相信，如果我们的数学工作者年轻时有更多的人文修养，他们可以在壮年时把一部分精力用于哲学思考或研究，并及时讨论数学的未来和延伸。正如本文引言中所提到的，如果我们把数学作为传统文化的一部分，而不是作为一种踏上大门或寻求名利的手段，我们的数学事业将繁荣发展，数学研究和人才培养将成为一个有序的体系，中国也有望成为一个真正的数学大国。