盘点数学里十大不需要语言的美妙证明

当涉及到证明复杂的数学定理时，许多人常常会因为认为这只是一个枯燥的公式堆积和深奥的数学推导过程而脸色苍白。当然，这是一个让作者感到纠结的误解。

当涉及到证明复杂的数学定理时，许多人常常会因为认为这只是一个枯燥的公式堆积和深奥的数学推导过程而脸色苍白。当然，这是一个让作者感到纠结的误解。因为数学演绎中蕴含的美和微妙其实是一道美丽的风景线，这种美甚至不需要用语言来描述。因此，我总结了十大不需要语言的数学证明。让读者不仅欣赏数学所蕴含的无与伦比的精致，而且从此热爱数学。

0.毕达哥拉斯定理

小学里每个人都学过的这个古老的定理有许多传说。我可以随便给她写10种不同的证明方法。然而，令人惊讶的是，埃利萨·斯科特·卢米斯在“毕达哥拉斯命题”中提到了367种证明这个定理的方法。这里有一个不用语言的证明方法。

事实上，毕达哥拉斯定理是余弦定理的一个特例，余弦定理的证明也可以不用语言来完成。

1.反正切的恒等式

关于反正切，有两个很好的等式如下:

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

他们的证明方法同样出色。

2.几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和最基本的等式:它也可以用图来证明。

这也可以用图形来证明。

注△ABC∽△DBA，AB=√ab很容易获得。其余的是显而易见的。

3.1+3+5+…+(2n-1)= n 2

这是奇数的求和公式，下图显示了n=8时的情况

4.平方数的和公式

5.立方数的和公式

6.斐波那契数列的恒等式

斐波那契数列是一个家喻户晓的名字，指的是这样一个数列:1，1，2，3，5，8，13，21...

这个数列从第三项开始，每一项等于前两项之和，F n+1 = F n+F n-1。

它的通式是

有趣的是，这样的数字序列完全是一个自然数，一般的公式实际上是由无理数表示的。当n为无穷大时，F n-1/F n越来越接近黄金分割数0.618。由于其神奇的性质，美国数学学会甚至从20世纪60年代起出版了季度斐波纳契数列。在斐波那契数列中，有这样一个恒等式

这个方程非常漂亮，不需要复杂的数学推导。它有一个非常直观的证明方法。

7.结果为1/3的一组分子式

下面是一组分子式，它们的结果等于1/3:

8.无文字证明最受数学家青睐

在1989年的《美国数学月刊》上，有一个看似非常困难的数学问题:下图是一个由小三角形组成的正六边形棋盘。现在请用右边的三个菱形(只面向不同的方向)填满整个棋盘(图中只有一部分)，证明当你填满整个棋盘时，你必须使用相同数量的菱形。

《美国数学月刊》提供了一个非常好的“证据”。每颗钻石都被涂上了一种颜色，整个人像立刻就有了三维效果，看起来就像一个接一个的立方体堆积在墙角。这三个菱形分别是从左、右、上看整个三维图形时可以看到的表面，它们的数目显然应该相等。

它将一个纯粹的组合数学问题与三维空间图形结合在一起，这真是令人惊奇。这个问题及其不可思议的“证明”很受数学家们的欢迎和喜爱。已故的理性主义者已经讨论过这个问题。同时，它也是死亡理性主义者标志的起源。

9.棋盘上的数学证明

在一个8×8的棋盘上，我们可以用32个多米诺骨牌覆盖整个棋盘上的64个方块(两个方块相连的矩形卡片)。如果对角线上的两个方块被切掉，剩下的62个方块还能被31个多米诺骨牌覆盖吗？

答案是否定的。每个多米诺骨牌必须覆盖棋盘上两个相邻的方格，一个白色，一个黑色。所以31个多米诺骨牌应该覆盖31个黑格和31个白色方块。然而，在这个斜切的棋盘上有32个一种颜色的方块和30个另一种颜色的方块，所以它不能被31个多米诺骨牌覆盖。

但是如果我们不把两个颜色相同的切掉呢？如果我们从棋盘的任何部分切下两个不同颜色的方块，剩下的62个方块能被31个多米诺骨牌完全覆盖吗？我可以告诉你，这当然是可能的，并且有一个非常漂亮的证据来证明这个结论。建议读者在继续阅读之前考虑如何证明这个结论。

上面的图片就是最好的证明。我不妨再加两句。粗黑线将整个棋盘变成一条封闭的线，黑白网格首尾相连。从这个棋盘上切下任何两个不同颜色的方块，都会把这个闭合的回路变成两个回路(如果切下的方块相连，那就是一个回路)。在这两段(或一段)线中，两种颜色的方块数是偶数，因此它们可以分别被几个多米诺骨牌覆盖。这证明整个棋盘可以被31张多米诺骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是由数学游戏大师马丁·加德纳提出的，而上述精妙的证明是由数学家拉尔夫·戈莫里发现的。他们后来被收入《意外绞刑和其他数学娱乐》一书