最伟大物理定理之一:没有它,近百年物理突破无从谈起

资料来源:全球科学美国

历史上，许多女科学家做出了杰出的贡献。艾米·诺特无疑是特别的。在她那个时代，社会给了她唯一的障碍，但她仍然发现了物理学中最伟大的定理之一。爱因斯坦说:“她是女性接受高等教育以来最具创造力的数学天才。”然而，很少有人认识她。诺特定理连接了两个非常重要的概念:守恒定律和自然界的对称性。100年后的今天，诺特定理仍然是已知物理学的基础。

1918年，埃米·诺特发表了一篇论文《不变量问题》，在这篇论文中她证明了诺特定理。(照片来源:*)1918年，艾米·诺瑟发表了一篇论文《不变量问题》，在这篇论文中她证明了诺特定理。(照片来源:*)

一个夏天的晚上，如果一个游客参观了20世纪20年代数学世界的中心——德国的哥廷根，他很可能来自弗里德兰德大街(Friedl？在恩德威的一间公寓里，听到了聚会的噪音。透过窗户，游客瞥见了一群学者。红酒在杯子里流淌，空气在嗡嗡作响，谈话集中在那个时候的数学问题上。游客最终可能会听到一个女人的笑声，艾米·诺瑟，一个创造性的数学天才。

记住这个名字:艾米·诺瑟

1882年，诺特出生在德国何润的一个数学家庭。他是数学家马克斯·诺瑟的女儿。诺特小时候的数学天赋并不明显，但它能解决其他孩子解决不了的问题。在诺特父亲任教的何润大学，女性被禁止成为全日制学生，但是她们可以在教授的允许下参加。1904年，当这些规定改变时，诺特很快入学，并于1907年获得博士学位。

然而，作为一名女性，诺特很难获得有收入的学术职位。因此，获得博士学位后，她无偿工作了几年。1922年，她在哥廷根大学获得了一个“不同寻常”的荣誉教授头衔。与那些“不寻常”的教授头衔不同，她的教授职位不是终身的，有一些内部管理权限，没有报酬。直到1923年她才拿到工资。来自哥廷根大学的著名数学家赫尔曼·韦尔说:“我很惭愧在她身边占据如此优越的地位。她是个数学家，我知道她在各方面都比我强。”

然而，诺特平静地接受了这种不公平的待遇。她的人格魅力使她深受他人的喜爱和尊重。十年后，诺特被纳粹领导的*驱逐，因为她是犹太人，被怀疑持有左翼政治信仰。从那以后，人们再也听不到聚集在弗里德兰德街的数学家们的笑声了。

1935年，在她去宾夕法尼亚布林莫尔学院工作两年后，她死于外科并发症，享年53岁。诺特去世时，爱因斯坦在《纽约时报》上写道:“她是女性接受高等教育以来最具创造力的数学天才。”

尽管艾米·诺特做出了巨大的贡献，但是很少有人知道。(照片来源:格兰杰收藏馆)

虽然大多数人从未听说过诺特，但数学家和物理学家从不吝惜赞美她。她解决了爱因斯坦新发现的引力理论——广义相对论中的一个令人困惑的问题。在这个过程中，她证明了一个革命性的定理，为当时已知的物理学提供了一个统一的视角，并为几乎所有重大的基础发现奠定了基础。诺特深刻的洞察力彻底改变了物理学家研究宇宙的方式。

自从诺特在1918年发表她的定理以来，整整一个世纪过去了，但是这个定理的重要性一直延续到今天。诺贝尔物理学奖获得者弗兰克·维尔泽克说:“诺特定理一直是20世纪和21世纪物理学的指路明灯。”

除了诺特定理，她还开创了一门叫做“抽象代数”的数学学科。数学家纳森·雅各布森曾经说过:“埃米·诺特是本世纪最有影响力的数学家之一。抽象代数的发展是20世纪数学中最显著的创新之一，这在很大程度上归功于她——在她发表的论文、演讲和对同时代人的个人影响方面。数学上，诺特的思想如此突出，以至于她的名字成了一个形容词。诺瑟里环、诺瑟里群和诺瑟里模可以在许多数学文献中找到。

守恒和对称

诺特发现了物理学中两个重要概念之间的联系:守恒定律和对称性。守恒定律——比如能量守恒定律——说一个特定的量必须保持不变。无论我们如何努力，能量都不能被创造或毁灭。从计算球滚下山坡的速度到理解核聚变的过程，能量守恒的确定性可以帮助物理学家解决许多问题。

那么，什么是对称？Weyl描述了一种思考这个概念的简单方法:如果你对一个对象做一些操作，在这些操作完成后，它看起来和以前一样，那么这个对象是对称的。例如，一个球体是完全对称的:不管你把球体转向哪个方向，它看起来都是一样的。同样，对称性在物理定律中也很常见:物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。

诺特定理宣称，每一个这样的对称性都有一个相关的守恒定律，反之亦然。能量守恒与昨天或今天物理定律相同(时间对称)的事实有关。同样，动量守恒与物理定律在这里或宇宙中的任何地方都是相同的这一事实有关(空间对称性)。

诺特定理连接了物理学中两个重要的概念:对称性和守恒。(照片来源:斯科特·格林伯格)

20世纪下半叶，诺特定理成为粒子物理标准模型的基础。标准模型描述了微观世界，并预测了希格斯玻色子的存在。今天，物理学家在撰写新理论时仍然依赖诺特定理。

对称性作为指导原则

对称性本身是有吸引力的。一些研究报告称，人类发现对称的脸比不对称的脸更美丽。脸部的两半几乎是彼此的镜像，这种特征被称为反射对称。在艺术作品中，我们经常看到对称，如马赛克、纺织品和彩色玻璃窗。自然界也是如此:一片典型的雪花在旋转60度后看起来是一样的。类似的旋转对称出现在花、蜘蛛网和海胆中。

然而，诺特定理并不直接适用于这些熟悉的例子。因为我们在周围世界看到的对称性是不连续的，它们只适用于特定的值，例如，雪花的旋转角度是60度。然而，与诺特定理相关的对称性是连续的:无论它们在空间或时间上移动多远，它们都是有效的。

连续对称中的一种叫做平移对称，这意味着物理定律不会随空间位置而改变。这里、那里和任何地方都一样。

与每个连续对称相关的守恒定律是物理学的基本工具。在物理课上，学生被告知能量总是守恒的。当一个台球撞击另一个台球时，第一个台球的运动能量将被分散:一些能量将被转移到第二个台球的运动中，一些能量将产生声音或热量，一些能量将保留在第一个球上。然而，总能量保持不变。动量也是如此。

这些规则被当作死记硬背的事实来教授，但它们的存在背后有数学原因。根据诺特定理，能量守恒来自时间的平移对称性。例如，火箭发射将把燃料中的化学能转化为动能和势能。由于时间的对称性，总能量将保持不变。同样，动量守恒源于空间的平移对称性。例如，在牛顿的钟摆中，当一个球撞击另一个球时，另一端的球会向外飞以保持动量守恒。这是为什么？因为空间的对称性。然而，角动量守恒来自旋转对称(也就是说，物理定律在空间旋转时保持不变)。一个熟悉的例子是，当一个溜冰者折叠她的手臂，她的旋转速度将会增加。这是因为总角动量必须保持不变，这是由于旋转对称。

物理定律在时间、空间和旋转方面是对称的。根据诺特定理，这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。(照片来源:斯科特·格林伯格)

在爱因斯坦的广义相对论中，没有绝对的时间和空间，守恒定律变得更加难以理解。正是这种复杂性首次将诺特带到了这个话题上。

引力理论中的一个难题

1915年，作为一种全新的引力理论，广义相对论将引力描述为物质时空弯曲的结果。除了爱因斯坦，德国哥廷根大学的数学家戴维·希尔伯特和费利克斯·克莱因也沉浸在新理论的美妙世界中。希尔伯特与爱因斯坦竞争发展这个复杂理论背后的数学。

但是希尔伯特和克莱因遇到了一个难题。当他们试图在广义相对论的框架下写一个能量守恒方程时，他们遇到了一个毫无意义的重复:就像写“0”等于“0”一样，这个方程没有物理意义。这个发现让他们大吃一惊。在此之前，没有公认的理论有这样的能量守恒定律。他们想了解为什么广义相对论有如此奇怪的特征。

这时，他们邀请诺特加入哥廷根，帮助他们解决难题。

诺特发现，这些看似奇怪的守恒定律是一种叫做“广义协方差”的特定理论所固有的在这样一个理论中，无论你是稳步前进还是疯狂加速，与理论相关的方程都是有效的，因为理论方程的两边都在同步变化。因此，广义协变理论，包括广义相对论，总是有这些非常规的守恒定律。这一发现被称为诺特第二定律。

在证明第二个定理的过程中，诺特证明了她的第一个定理是关于对称性和守恒定律之间的关系。1918年7月26日，这两个结果发表在《g？在ttinger Nachrichten。

难以捉摸的伙伴

诺特死后，诺特定律继续发光，尤其是在粒子物理学中。很难理清发生在基本粒子世界中的神秘事物。维尔切克说:“我们必须依靠理论洞察力、美学和对称概念来猜测事物可能如何运作。”诺特定理带来了很大的帮助。

在粒子物理学中，相关的对称性是一种被称为“正则对称性”的隐藏类型。物理学家在电磁学中发现了这种对称性，这导致了电荷守恒。

标准对称性出现在电压的定义中。电压是两点之间的电位差。潜力本身的实际价值并不重要，重要的是区别。这创造了电势的对称性:它的整体值可以改变而不影响电压。这一特性解释了为什么一只鸟站在电线上不会触电，但是如果它同时接触两根不同电位的电线，悲剧就会立即降临到这只鸟身上。

在20世纪60年代和70年代，物理学家扩展了这一概念，发现了与守恒定律相关的其他隐藏对称性，从而发展了粒子物理的标准模型。

无论哪里发现守恒定律，物理学家都在寻找对称性，反之亦然。这个标准模型解释了大量基本粒子及其相互作用。许多物理学家认为标准模型是历史上最成功的科学理论之一，因为它能准确预测实验结果。然而，标准模型并不完善，仍然存在许多无法解释的问题。

长期以来，物理学家的目标是构建一个统一的理论，用几个方程来描述一切，尽管这被证明是非常困难的。这些统一的理论是基于基本对称的假设。物理学家不知道什么样的对称性能把弱电力(电磁力和弱核力的统一)和强核力统一在基本力中。但是寻找这样一个“大统一理论”是物理学中一个活跃的领域。

一个好的大统一理论可以预测宇宙中质子和中子的来源。质子和中子被称为重子，重子的总数应该是守恒的。在实验中，科学家们正在寻找质子是否会衰变。如果我们观察到质子衰变，我们就会知道重子数是否真的守恒，这是大统一理论的关键线索。

然而，当我们在寻找超越标准模型的理论时，物理学家发现了一种被称为超对称的隐藏对称性，这是许多大统一理论的核心。超对称性是基于统一两个主要的基本粒子:费米子(如电子和夸克)和玻色子(如光子和希格斯玻色子)。它假设所有费米子都有一个玻色子伴侣，反之亦然。

对称性是标准模型的基础。图中的圆圈代表标准模型中的粒子，如光子和电子。外围是一个由超对称理论提出的假设粒子。(照片来源:youtube/particlefee)

超对称性优雅地解决了许多标准模型无法解决的问题，因此大型强子对撞机(LHC)的第一项任务是寻找超对称性的迹象。但到目前为止，科学家还没有发现这样的粒子。尽管人们对探测抱有很高的期望，一些物理学家已经开始质疑超对称性的正确性。也许对称性只能让物理学家走到这一步。

这种观点让一些物理学家进退两难。如果这始终不是指导原则——也就是说，越对称越好——那么指导原则是什么？

三维空间和二维表面

虽然这种情况令人沮丧，但对称性仍然在物理学中保持其光芒。诺特定理是发展量子引力势理论的必要工具。量子引力理论结合了两种完全不同的理论——广义相对论和量子力学。诺特的工作有助于科学家理解在这样一个统一的理论中对称性会出现什么。

在众多理论中，有一个候选理论依赖于两个互补理论之间的联系:二维表面量子理论可以作为三维弯曲时空中量子引力理论的全息投影。这意味着三维宇宙中包含的信息可以被编码在它周围的二维表面上。

想象一下汽水罐的标签描述了罐中每个气泡的大小和位置，并列出了这些气泡是如何融合和破裂的。好奇的研究者可以利用罐子表面的行为来了解罐子的内部，比如计算摇动罐子时可能发生的情况。对物理学家来说，理解更简单的二维理论可以帮助他们理解三维物体内部更复杂的情况。(适用于这一全息原理的量子引力理论被称为弦理论，其中粒子由振动的弦来描述。)

描述二维空间中粒子行为的理论可以用作三维量子重力的全息图。这就像通过阅读标签来研究汽水罐中的气泡。(照片来源:e) OTWELL)

物理学家丹尼尔·哈洛说:“诺特定理是这个故事非常重要的一部分。”二维量子理论中的对称性出现在不同背景下的三维量子引力理论中。通过一个令人满意的变换，诺特的第一个和第二个定理被联系起来:描述二维空间的第一个定理与描述三维空间的第二个定理具有相同的表达式。这就像有两个句子，一个用中文，另一个用英文。翻译的时候，我意识到他们用不同的方式表达同样的东西。

永恒的联系

是的，诺特的工作完全改变了我们理解宇宙的方式。下一次当你读到宇宙膨胀理论、超对称粒子或任何与万物理论相关的进展时，你应该想到埃米·诺特，他的定理是所有这些理论的核心概念。

许弘毅在他的《可怕的对称》一书中写道:

“能量守恒、动量守恒和角动量守恒是物理学中的第一定律。它们控制着物理宇宙中所有物体的运动，从星系的碰撞到原子中电子的旋转。多年来，我没有问这些守恒定律是从哪里来的。它们似乎太简单了，不需要解释。后来我听到了诺特定理，印象非常深刻。这些基本守恒定律最初是基于这样一个假设，即物理昨天、今天、明天、这里、任何地方、东方、西方、南方和北方都完全相同。正如爱因斯坦所说，这个启示对我来说属于精神范畴。

在我作为物理学家的岁月里，这个发现是最难忘的。我一直被人类理性理解宇宙的能力所感动，但我很少遇到像诺特这样真实的景象。这种远见让我开心、敬畏和感动，因为作为绝对真理，它们是深刻而简单的。另一方面，作为一名物理学家，我不认为在某种条件下原子核和晶体的性质是非常有趣的。在对宇宙现象学的感知中，这一代人认为有趣的东西，下一代人的兴趣很小。这一代基础物理学家相信，用爱因斯坦的话说，20年前粒子物理学的奇妙发现是“一种现象或另一种现象”。但是对称性和守恒定律之间的联系是永恒的。"