小球思维实验：如何思考无穷？

无限就像数学外衣上的一根线:一旦你把它扯下来，你会发现这根线不仅比你想象的要长，而且外衣在最后也会散开。用不了多久，你就会全身赤裸地站在那里，希望现在你能把所有松散的线重新连在一起，继续快乐，不管有多远。

然而，我们不是这样的人，我们必须抓住这条线索，我们必须进入无限的概念，我们必须真正超越无限。

事实上，让一件事无限期地发生是相当困难的。让我们先试试。首先找到一个盒子，然后找到许多球，用数字1，2，3，4标记这些球...你猜对了，然后我们必须一次一个球地把球放进盒子里。然而，这里有一个特殊的规则。如果把一个平方数的球放进盒子里，你必须从盒子里拿出一个与平方数的平方数相对应的球，并把它放进抽屉或一个安全的地方。

问题马上就来了。1是平方数，但它也是平方根，所以我们只能先把它放进去，然后再取出来。接下来，让我们开始放数字2和3。放好4号球后，必须把盒子里的2号球拿出来放入抽屉。接下来，放入球5到8，放入球9，取出球3。

问题来了:如果这样下去，盒子里还剩多少球？抽屉里有几个球？

结果被宣布了:最后盒子里没有一个球。

为什么？这似乎不合逻辑。事实上，随着游戏的进行，盒子里的球数量会继续增加。每次你有两个选择:[放入1个球/[放入1个球，取出1个球]，球的数量要么增加，要么保持不变。但最终所有的球都必须放进抽屉，而不是留在盒子里。

盒子里什么时候开始没有球了？

每个数都有一个对应的平方数，也就是说，每个数都是一个平方根数，所以最终所有的球都会被放入平方根抽屉。你放入盒子的每一个球都有另一个与之对应的方形球。迟早，这个正方形的球会被放进盒子里。你放进去的球最终会被取出来。理论上，这个盒子是空的，因为没有一个数字太大而不能平方。但是每次我继续，盒子里的球都比抽屉里的多。怎么回事？

我们之所以有这种感觉，是因为在我们的理解中，无穷大的概念就像一个非常大的数字，但是无穷大不是一个数字。在序列中的任何地方都找不到无穷大。每个人似乎都有这样的想法--沿着顺序一直往前走，数十次，再往前走，再往前走，最后数字不会继续，它会结束。在序列的末尾，有一个符号∨，这意味着序列在这里结束。

那不是真的。每一个超级超级超级超级号码，都有一个更大的超级超级超级超级超级超级号码。无穷大不是序列的末尾，无穷大也不是最终的大数。

事实上，无穷大是用来衡量数字的尺度。数列没有头，所以我们说数列是无限的。想象所有的整数，是的，无穷大有这么大。一旦你停止搜索数字序列，开始考虑整数序列；一旦你停止思考某个大的数字，开始思考所有的数字，这个盒子就会是空的。

有无限多个整数，每个整数都是另一个整数的平方根。不要想把球放进去，拿走球，只需迈出一步:所有平方根的数字都放在抽屉里，所有非平方根的数字都留在盒子里。最后，盒子里没有一个球。

我们的问题主要在于这样一个事实，即凭直觉判断无限似乎不合逻辑，我们不知道从哪里开始。也许是因为我们的大脑不喜欢处理高维信息，但至少我们可以处理低维信息。人类的大脑愿意处理有限的数字，但是一旦它遇到无限的概念，发生的一切都变得完全违背人类的直觉。如果你理解有限的数字，你就不能理解无限，就像你能理解三维形状，但不一定理解四维形状一样。当面对无限的概念时，我们对有限数字的热爱只会让我们感到虚假的安全感。在一个与现实世界无关的世界里，数学逻辑是唯一的指南。

不依靠直觉解决数学问题就像乘潜水艇在海底航行。回到数学的森林，直觉可以引导我们理解我们周围的世界。此时，数学与我们周围的世界直接相关。然而，一旦你下降到深海海底，它将完全黑暗，你什么也看不见，你不知道去哪里。此时，现实世界已经消失，进入了一个纯粹的抽象思维世界。在潜水艇里航行时，你只能依靠仪器的读数。同样，面对无限，我们只能用数学结果来引导。如果我们能保持一丝不苟和严谨的精神，验证每一个步骤，并确保从各种数学工具推导出的所有结论都能得到解决。