数学瑰宝《梦溪笔谈》

数学瑰宝“孟茜碧潭”

宋代是中国古代代数最辉煌的时期之一。北宋大科学家沈括的著名著作《孟茜笔谈》中有十余篇关于数学的论述。内容博大精深，堪称我国古代数学的瑰宝。

沈括最重要的数学讨论是间隙积和圆技术。间隙积技术开辟了我国数学史上高阶零差级数求和的研究领域。高阶零差级数的研究始于沈括。

所谓“缺口堆积”是指有缺口的堆积体，如酒店中堆积的酒坛、堆积的棋子等。这个堆积体整体上就像一个倒置的桶，很像一个截头的长方形圆锥体(褚同)。然而，间隙积的边缘并不平坦，中间有一个间隙，所以我们不能复制容积公式。经过思考，沈括发现了正确的计算方法。他以叠放的坛子为例来说明这个问题:顶层纵横两个坛子，底层纵横12个坛子，相邻两层纵横1个坛子，显然这堆坛子有11层；每个酒坛的容积可设置为1，总容积按容积公式计算为3784/6，酒坛总数应相同。显然，饮酒场所的数量不应该是非整数。有什么问题吗？沈括建议容积应增加一个项目(下宽-上宽)×高/6”，即110/6，实际罐数应为(3784+110)/6 = 649。添加的项目只是一个音量校正项目。在这里，沈括以体积公式为基础，将离散个体的累积数(级数求和)转化为连续的全局值来求解，这表明他已经有了用连续模型求解离散问题的思想。

昼夜节律技术是圆的矢状关系的实用近似公式。其主要思想是在局部用直线代替曲线。沈括进一步应用《九章算术》中的弧场近似面积公式，求出弧长，即圆法公式。虽然沈括的公式是近似的，但可以证明当中心角小于45°时，相对误差小于2%，因此该公式具有很强的实用性。这是刘辉用弦(正多边形的边)代替圆弧思想的重要证明，具有重要的理论意义。后来，郭守敬、王勋在历法计算中运用了会圆术。

在孟茜碧潭，沈括还用组合数学计算了3361个可能的围棋回合，并提出用数量级的概念来表示大数3361的方法。沈括还在书中记录了一些操作性的思想，如引导飞升的汴水河到古城遗址抢救倒塌的河堤，以及通过掘路入河、取土、运输、最后将建筑垃圾填河入路来修复宫殿。沈括对对数本质的理解也很深刻，他指出:“万物皆有定形，形皆有真数。”显然，他否定了数字的神秘，肯定了数字和事物的关系。他还指出:“然而，算术并不涉及太多的学习。只要简单就可以使用，复杂就可以改变。这是一项普通技能。”