《啊哈!灵机一动》－简单而复杂的立方体

欧几里德小姐的魔方

第一个问题的答案是:为了证明一个4×4×4的立方体被切割成64个至少有6个切口的小立方体(每个切口可以放置在任何位置)，人们只需要看一下大立方体中8个小立方体中的任何一个。这个小立方体的六个面都在大立方体里面，没有一个面暴露在大立方体的外表面。此外，小立方体的每个面在形成之前必须被切割一次。因此，至少需要六次切割才能切割出如此小的立方体。

那么，有没有一种通用的方法，用最少的刀具把一个规则的长方体切割成几个小立方体，当然，在切割过程中，可以任意安排每块的位置。答案是肯定的。具体方法如下:长、宽、高三条边相交于一点。从这一点开始，长度、宽度和高度分别被分成几个单位长度，从而确定可以切割的刀具的最小数量。对于每条边，尽可能靠近中心切割，然后将两个切割部分堆叠在一起，并尽可能靠近中心切割，直到每个部分都是单位长度。切割三个边缘所需的刀具总数是所需的最小刀具数。

例如，一个3×4×5的盒子需要至少7次切割:长度为3的边需要2次切割，长度为4的边需要2次切割，长度为5的边需要3次切割，总共需要7次切割。这种通用切割方法的证明早在1952年就在《数学杂志》上发表了。

第二个问题的答案:解决这个问题的方法是在立方体的另一边画一条对角线，这样这条线和原来的两条对角线就形成了一个封闭的三角形，如图22所示。这三条线是相等的，并且形成一个正三角形，所以这个三角形的每个角度是60度，所以欧几里德小姐提出的角度是60度。

图22

我们可以进一步扩展这个问题。如果欧几里德小姐在立方体上画两条直线，如图23所示，并且A、B和C分别是三条边的中心，那么AB和BC之间的平面角度是多少？

图23

想法和以前一样。首先，其他四个曲面上相应边的中点按顺序连接，以形成立方体周围的闭合图形。这个封闭的图形有六条边，每条边的长度相等，每条边之间的夹角相等。如果我们能证明这个六边形的六个顶点都在同一个平面上，那么这六条线一定是正六边形。要证明这六个点是共面的，需要一点演绎或解析几何的知识，但你实际上可以沿着问题所涉及的六条边的中心切割一个立方体块，你会发现这个切面正好平分立方体，这六个点确实是共面的。

一个正立方体被如此二等分，它的切面是一个正六边形，这一事实似乎是不可思议的，或者有些出乎意料。但在这种情况下，我们必须把前两条线看作正六边形的两边，夹角是正六边形的内角，即120度。

从图23中，我们还可以想到另一个有趣的问题。如果一只苍蝇沿着立方体的表面从a点到c点，从a点到c点的路径是最短的吗？

这里我们必须非常清楚我们的思维方法，假设我们可以“打开”立方体，即使相邻的两边成为一个平面，那么连接这个平面上的两个点的线段是从a到c的最短路径。应该注意，有两种具体的方法可以做到这一点:旋转顶面使其与前表面重合，或者使前表面和右表面合并成一个。交流长度在前一种情况下√2，在后一种情况下√2.5，这表明图23中画的线是从a到c的最短路径

第三个问题的答案是:你可以先在一个特定的表面上完全测量，然后用毕达哥拉斯定理两次求出所需空间对角线的长度。但是，有一个更简单的方法:找到一个有矩形桌面的桌子，将立方体的边长设置为x，测量从桌子的角开始沿着桌子的边的距离x，在这个点做一个标记，这样立方体的一个顶点在这个点，一个边与桌子的边重合。如图24所示，显然，ab和两点之间的距离是立方体所需空间对角线的长度，可以用直尺直接测量。

图24

如果你有一个大球，你需要测量它的半径，尺子的长度只有大球直径的三分之二。你该怎么办？一个简单的方法是在球的某一部分涂上口红或其他颜色的涂料，然后把球放在靠近墙壁的地板上，这样涂过的部分就能接触到墙面。然后口红会在墙上留下印记。离地面的高度很容易用直尺直接测量，它的长度就是大球的半径。

你想尝试最简单的方法来测量圆锥或正四面体的高度吗？你想试着用一个木匠的正方形来测量圆柱形管道的半径吗？