千年不休的探寻之旅

你还记得你年轻时的梦想吗？

你还记得你在小学背诵的素数列表吗？当时，它也被称为素数表“2，3，5，7……”现在，你真的明白老师说的了吗:这些只能被1除的数字本身有无穷的魅力。

你还记得你在高中计算的2的整数幂吗？在计算机时代，作为二进制的体现，他们正在做他们的工作。" 2，4，8，16，32，64，128，256 ... "十多年来，个人电脑的存储容量已经经历了这些熟悉的数字，达到2048米(2G)甚至更多。

现在，让我们从2的整数次方中选择质数作为指数，并从中减去1。如果我们尝试，会发现什么？22-1=3，23-1=7，25-1=31，27-1=127……

你的心激动吗？一个伟大的发现似乎就在眼前...

别担心，别担心，你的发现很棒，只是有点遗憾...你已经晚了2000年。

2300多年前，古希腊数学家欧几里德在证明了素数有无穷多个之后，写下了不朽的《元素》，顺便指出，有许多素数可以2p-1的形式写成，其中的指数p也是素数。很容易认为你刚刚发现的22-1，23-1，25-1，27-1是前4名！

当p = 11，13，17，19，23时...2p-1还是质数吗？这些2p-1质数有多少？在公元前，当计算能力低的时候，寻找质数吸引了无数人。

没有理由让人们对质数如此着迷。它有许多简单而美丽的猜想，其中一些已经成为定理，而另一些仍然没有答案。例如，著名的哥德巴赫猜想使人们很难找出任何大于或等于6的偶数是否可以表示为两个奇数的和。另一个例子是孪生素数问题:有多少对素数的差为2，比如5和7，41和43？

在数学史上起得很早的古希腊人也发现了许多素数，其中完全数是一。毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因子之和(包括1但不包括它本身)完全等于它自己，这个数就被称为完美。很容易发现6 = 1+2+3是第一个完全数，28 = 1+2+4+7+14是第二个完全数。他们相信上帝在6天内创造了世界，所以6是最理想和最完美的数字，与6性质相同的数字都是完美的数字。

欧几里德在《几何》中证明，如果2p-1是素数，那么2p-1 (2p-1)一定是一个完全数(你会发现当p分别等于2和3时，它对应于前两个完全数6和28)。

后来，欧拉进一步证明了每个偶数完全数也必须是欧几里得给出的形式。(不要问我有多棒？即使它存在，它仍然是关于素数的无数难题之一。)

很容易看出，当2p-1形式的质数被发现时，一个新的完全数也被发现。

形如2p-1的质数长期以来一直占据着人们所发现的最大质数的荣誉榜(它们在1989年后的三年里只被39158× 2216193-1带走)，因为判断这样一个数是质数的方法比判断其他类似大小的数是质数的方法简单得多。

对2P 1质数的搜索就是这样开始的。数学家费马、笛卡尔、莱布尼茨、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵...这些闪亮的名字，就像黑夜中行进的火炬手，照亮了通往未知的道路。

几颗星星在历史的天空闪烁。

让我们坐在时间机器上，回到过去，看看这条路线的风景。

1456年，另一个没有留下名字的人发现了2p-1类型的第五个素数:213-1。如果你出生在那个时代，也许这一发现的荣耀将属于你。然而，你更有可能犯和当时的人一样的错误，认为对于所有的素数p，2p-1都是素数。你知道，这个错误直到1536年才被打破。他指出211-1 = 2047 = 23× 89不是质数。

然而，你的鲁莽是完全可以理解的。数学家在黑暗中寻找，就像年轻人一样，会犯下上帝也能原谅的错误。彼得罗是第一个找出这种质数的人？卡塔利在他1603年的声明中坚定地说，p=17，19，23，29，31和37，2P-1是质数。不幸的是，37年后，他的六个结果中的两个被推翻了。费马用著名的小费马定理(不是更著名的大费马定理)证明了卡迪关于P = 23和37的结论是错误的。

我想知道以下事实是否会让你想起“房子晚上漏水，甚至晚上下雨”？大约100年后的1738年，欧拉证明了卡塔利的结果中的P = 29也是错误的。幸运的是，欧拉再次证明了p = 31的结论是正确的。

尽管卡塔利的六个结果“在战斗中被杀死”了一半，考虑到他是通过人工计算得出结论的，而费马和欧拉使用了当时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和可能的错误，我们仍然向卡塔利致敬。结果，他光荣地占据了第六和第七个发现者的位置。在他之前，一切都是匿名的。

卡迪的成功表明，整理和预测是正确的途径。在他之后，是17世纪著名的法国数学家和僧侣马林在他的研究中取得了最大的成就。梅森(马林·梅森，1588-1648)。

梅森热衷于宗教，但更喜欢数学。他是一个人脉广泛、热情诚恳的人，也是一个“科学信息交流站”。为什么？那时，学术期刊、国际会议甚至科学研究机构还没有诞生。梅森的“及时雨”是欧洲许多科学家之间的桥梁。他们把研究结果发给了他，然后他把它们传给了更多的人。像费马和笛卡尔这样的数学家每周都在他家里开会讨论问题，从而慢慢形成了“梅森学院”，后来它有了一个更响亮的名字——法国科学院。

1644年，梅森在欧几里德和费马研究的基础上，对2P一号进行了大量的计算和验证工作。1644年，他在《物理数学随机感受》一书中断言，当P = 2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P-1是一个素数；当p等于所有其他小于257的数时，2p-1是一个复合数。这里，前7个数字(即2、3、5、7、13、17和19)已经被先前的工作所证实。接下来的四个数字(即31、67、127和257)属于猜测部分。然而，人们对他的断言深信不疑，甚至连伟大的数学家莱布尼茨和哥德巴赫都认为这是对的。

梅森的工作极大地激发了人们研究2P-1素数的热情，成为素数研究的转折点和里程碑。为了纪念他，数学界称这个数字为“梅森数”，并用Mp(M是梅森名字的首字母)记住，即MP = 2P-1。如果梅森数是一个素数，它被称为“梅森素数”(即2P-1素数)。

梅森素数的验证需要费力的计算，即使最小的M31 = 231-1 = 2147483647在“猜测”部分也是一个10位数。然而，梅森自己也承认:“一个人，使用普通的验证方法，必须检查一个15位或20位的数字是否是质数，即使整个生命是不够的。”四年后，当他年老体弱的时候，他去世了。最终，梅森素数的发现权都不属于他。然而，考虑到他已经享有了“命名权”，让我们与长途跋涉的发现者分享这一荣誉。