物理学难题或源于数学悖论

理论物理学家的最新研究表明，哥德尔的不完全性定理与量子力学中无法计算的问题有关。

科特。哥德尔(左)证明了总有一些数学命题是无法确定的。艾伦。图灵(右)将哥德尔的证明扩展到计算机科学中无法解决的算法。资料来源:l: pictorialpress ltd/alamy，r:photo hot

数学和计算机科学领域的一个核心逻辑悖论也可能对现实世界产生影响:正是它让我们无法回答一些关于物质的基本问题。

1931年，奥地利出生的数学家库尔特？库尔特·格？德尔)宣布他已经证明了总有一些数学命题是“不可判定的”，也就是说，我们永远不能证明或证伪它们。这一发现震惊了学术界。现在，这三位研究人员发现，正是这个原理阻止了物理学家计算理想原子模型中电子的最低能级间隙，这是物质的一个重要特性。

这项研究的作者之一是托比，他是伦敦大学学院的量子信息理论物理学家。托比·库比特说，研究结果表明，另一个在粒子物理学方面提供100万美元奖励的相关问题在本质上无法解决。

这项研究发表在12月9日的《自然》杂志上，研究人员还在该论文的预印网站arXiv上发表了该论文的更长版本(140页长)。克里斯蒂安，来自西班牙巴塞罗那光子科学研究所的量子信息理论物理学家？果戈林说:“这个令人震惊的发现对于所有研究凝聚态理论的人来说将是一个巨大的惊喜。”

从逻辑到物理

1936年，英国数学家艾伦首次将哥德尔的发现与物理世界联系起来？图灵完成了。"图灵比哥德尔更清楚地思考物理和逻辑之间的关系."《哥德尔传》的作者、美国作家丽贝卡？丽贝卡·戈尔茨坦说。

图灵设想了一台理想化的计算机，可以一次读/写1位数据，并用它以算法的形式重述哥德尔的结果。他证明了我们永远无法知道计算机是否能在有限的时间内完成计算，也没有通用的测试来知道任何给定的算法是否是不可判定的。同样的限制也适用于真实的计算机，因为它们在数学上等同于图灵机。

自20世纪90年代以来，理论物理学家一直试图将图灵的工作表述为物理现象的理想模型，“但他们得到的所有不可判定的问题都不能与物理学家关心的具体问题联系起来。”加拿大西部大学的理论物理学家马库斯？马库斯·穆勒说，他在2012年与果戈林和另一位合作者发布了一个类似的模型。

丘比特说:“可以说，我们的研究首次将不确定性反映在人们真正试图解决的一个重大物理问题上。”

光谱间隙

丘比特和他的合作者专注于计算“光谱间隙”——材料中电子占据的最低能级和较低能级之间的间隙。这个物理量决定了材料的一些基本性质。例如，在某些材料中，降低温度会缩小间隙，并将材料转变成超导体。

研究团队以一个理想的材料模型——无限二维原子晶格为研究对象。晶格中原子的量子态可以看作是一台具体的图灵机，它包含了计算每一步所需的信息，以找到材料的光谱间隙。

丘比特和他的同事证明了对于无限晶格，你永远不知道计算过程何时结束，所以没有答案来回答是否有光谱间隙的问题。

然而，对于有限大小的二维格子，计算步骤总是可以在有限的时间内完成，并且可以得到确定的答案。因此，无限晶格的情况似乎与真实世界相去甚远:毕竟，真实材料的尺寸总是有限的，它们的性质可以通过实验测量或计算机模拟完全获得。

然而，无限情形的不确定性意味着，即使我们知道有限尺寸晶格的光谱间隙，当材料尺寸增加时，它也可能经历剧烈的变化，例如从不完全的间隙变化到能量间隙，即使只增加一个原子。此外，由于研究已经证明我们无法预测这种情况是否会发生以及何时会发生，我们无法从实验或模拟结果中得出一般结论。

悬赏数百万英镑的问题

丘比特说，他们的最终目标是研究粒子物理学领域的一个相关问题，被称为“杨-米尔斯质量差距问题”，该问题被美国粘土数学研究所列为“千年奖问题”之一，并悬赏100万美元寻找解决方案。

所谓的质量间隙问题与传递弱相互作用和强相互作用的粒子有质量这一事实有关，这就是为什么弱相互作用和强相互作用只在一定范围内有效，而不像重力和电磁相互作用那样在任何距离起作用。这也是为什么夸克只能是复合粒子(如质子和中子)的一部分，而不能单独存在的原因。然而，没有严格的数学理论来解释为什么强相互作用和弱相互作用的载体有质量，而电磁力的载体光子没有质量。

邱比特希望他们团队的想法和方法能够最终证明杨和米尔斯之间的质量差距问题是不可解决的，但他们仍然没有明确的想法。"我们离100万美元的奖金还差得很远。"他说。(作者大卫？卡斯特尔斯·维奇(大卫·卡斯特尔维奇)