钢琴键盘和同余理论

钢琴被称作当代乐器之王，是一种借助琴槌敲击吉他琴弦音标发音的击奏弦鸣键盘乐器。最开始的钢琴问世在1710年上下，历经近三个新世纪的持续改进和发展趋势，现如今钢琴已变成传统乐器家族中引人注意的人物角色之一。

当代钢琴分成三角钢琴和立柱式钢琴两类。他们的电脑键盘从五个八度(61键)到八个八度(96键)不一，最普遍的有7组88键或7组85键的钢琴。钢琴是管弦乐队中音区更为开阔的传统乐器，一般歌曲中的合理音高在钢琴上面能够 寻找。并且在钢琴键盘上，我们可以十分形象化地见到乐音体系中所应用的音和音列。

钢琴为平均律传统乐器。它运用了十二平均律，即钢琴上的每一个八度被均分成12个半音，在其中包含七个基本音级（白键）和变化音级（黑键）。七个基本音级即大家所了解的do，re，mi，fa，sol，la，si，用英文字表明为C,D,E,F,G,A,B。将基本音级上升或减少获得变化音级。“#”表明将基本音级上升半音，称“升号”；“b”表明将基本音级减少半音，称降号；“x”表明将基本音级上升全音（即持续上升2个半音），秤重升号；“bb”表明将基本音级减少全音（即持续减少2个半音）秤重降号。比如，#C或bD，即是相邻C上边（在钢琴上为右侧）也即相邻D正下方（在钢琴上为左侧）的黑键。

奇妙的是，那样看起来简易的钢琴键关联中，包括着一套数学课登陆密码。邻近的2个钢琴键(包含黑键)都组成半音，距离12个半音的2个音所造成的声波频率振动频率存有2倍关联。听觉鉴别到这两个音具备相关性，并从而界定他们相互之间八度音。应用到数学中，大家称按键y比x高k个八度音，则可列举：

y-x=12k,k=1,2,3.......

所述x和y两数间联络称之为同余。

假如2个整数金额的差y-x能被一个正整数m整除，则称y与x同余， 模为m，记作Y≡x（mod m）。整数金额m称之为模，比如：

39≡4（mod 5），即：39-4=35，35能被5整除。

y≡x（mod m）的通俗化叫法就是y与x相距m的非负整数，即y=x km。对某一整数金额k，给出任一整数金额m，与x同余的全体人员整数金额组成的结合称之为x的剩余类（同余类），表明为[x]m。一般，剩余类中的最少非负整数用于表明该剩余类，合称那样的剩余类为最少剩余。假如x是一个剩余类中的特殊元，则剩下元都可以由x加上m的非负整数转化成。给出一切一个类，非常容易看得出最少剩余便是特殊元整除模后的余数。比如，[748]5=[3]5，由于3是748整除5后的余数。

同余类的加法运算界定为：[a]m+[b]m=[a+b]m

钢琴键盘上音是循环系统反复的，我们知道一个八度后接另一个八度，而在其中音乐符号的音名也是C,D,E,F,G,A,B好多个英文字母的依次反复排序。为何C在间距12个半音后还能获得C呢？从同余基础理论考虑到，每一个英文字母全是该按键的模为12的同余类的取名，这12个类中的每一个都可以开创一个调。因而大家将白键上的音原始界定以下：

在乐理知识中，C上升半音，既可称之为升C，又可以称之为降D，即音高同样而实际意义和记法不一样的音，大家称作等音。她们用同样的数据界定。从而我们可以得到钢琴键盘上全部按键，根据最少剩余测算而得到相对性应的音名，周而复始的音名。