加州大学刘克峰教授演讲：丘成桐与卡拉比猜想60年

丘成桐，汉族，1949年4月4日出生于中国广东汕头，是邱振英的儿子。他目前是哈佛大学的数学教授和清华大学数学科学中心的主任。菲尔兹奖，即1983年的“诺贝尔数学奖”，是迄今为止仅有的两位获得该奖的中国数学家之一。图为丘成桐(右)和刘克峰先生。

陈省身先生(1912004)

卡拉比空间

丘成桐和卡拉比先生

刘克峰，1965年12月出生，现任浙江大学数学中心执行主任兼数学系系主任，加州大学洛杉矶分校广标教授兼数学系教授。专业:微分几何，拓扑学，数学物理。他目前是*国际数学杂志《几何与分析通讯》的主编。他获得了世界最高的中国数学奖，“陈星数学金奖”和2004年教育部十大科技进步奖。他还获得了国际著名的古根海默奖、中国数学家全球会议银奖、斯隆奖和特曼奖。

演讲者:刘克峰时间:2月8日地点:加州大学洛杉矶分校

20世纪50年代是几何学和拓扑学最辉煌的时期。一群年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开创了一个新时代。连同他们的定理，它们闪耀着光芒，照亮了整个数学史。

卡拉比推测，在数学社区的期望中，等待真正的国王到来，这种等待是21年。

在1941年，霍奇的理论刚刚由威勒和柯黛拉完成。陈省身于1945年提出的代表类是由赫泽布鲁克发展而来的，它证明了拓扑学中的符号差定理和代数几何中的赫泽布鲁克-黎曼-罗奇定理。工程师博特证明了他的不朽同伦群周期性定理。这些结果很快启发了阿蒂亚-辛格指数定理。Serre用Leray谱序列计算了代数拓扑中球的同伦群，写了著名的代数几何文章GAGA和层理论，并系统地将复分析引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复杂流形的变形理论。后来，米尔诺尔发现了七维奇异球，纳什证明了黎曼流形的嵌入定理。这些伟大的数学家和他们的定理，如天空中闪耀的星星，多得让人看不见。

在1954年的国际数学家大会上，菲尔兹奖的获得者是科迪亚拉和塞尔。他们的主要工作是将复杂分析、微分几何和代数几何完美地结合起来。正如韦尔在获奖感言中所说，“他们的成就远远超过了他年轻时的梦想。他们的成就代表了数学新时代的到来。”

同样在这次数学家大会上，31岁的意大利数学家卡拉比在大会的邀请报告中的一页上写下了他著名的猜想:如果M是一个紧的卡勒流形，那么它的第一个陈类中的任何(1，1)形式R都只有一个Kale度量，而它的Ricci形式恰好是R .卡拉比还粗略地描述了他的猜想的一个证明方案，并证明了如果解存在，它一定是唯一的.

但是三年后，在1957年一篇关于卡拉比-尤流形几何的文章中，他意识到这种证明根本行不通。在这里，我们需要解决一个极其困难和复杂的偏微分方程，称为复蒙-安培方程。他去请教安德烈·韦尔教授，他是20世纪最伟大的数学家之一。魏尔曾说:“当时没有足够的数学理论来征服它。”

众所周知，庞加莱著名的均匀化定理告诉我们，一维复流形只有三个简单的覆盖:球面、复平面和单位圆。如何将均匀化定理推广到高维流形几乎主导了现代几何和拓扑学的发展。即使从复杂的一维流形到复杂的二维流形，问题的复杂性也远远超出想象，数学家称之为从天堂到地狱。换句话说，上帝创造了黎曼曲面，它简单、美丽、多彩。是魔鬼创造了复曲面，它是复杂的，令人眼花缭乱的。卡拉比猜想可以被看作是高维均匀化定理的一个不可思议和大胆的推广，它实际上给出了高维复杂流形中一个罕见的一般规则。特别地，在复卡雷尔流形式的第一陈类大于零、等于零且小于零的三种情况下，指出了卡勒-爱因斯坦度量的存在性，即该度量的第一陈形式等于它的Kale形式。这恰好对应于黎曼曲面三次均匀化的推广。

我们应该知道，当时已知的爱因斯坦流形的例子都是局部齐次的，我们甚至不知道在复投影空间(如K3曲面)的超曲面上是否有爱因斯坦度量。在这样的情况下，卡拉比做出了如此大胆的猜测，这表明他有很大的勇气和胆量。难怪自那以后，大多数几何学家都怀疑这种猜测的正确性。许多人试图寻找反例而不是证明它。正如庞加莱的均匀化定理和霍奇定理需要数年甚至数十年的努力才能得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期待中，等待着它真正的国王的到来。这是21年的等待。

塞尔说:“一个非常好的数学猜想，它的解应该被一系列的推论和持续的影响所跟随。”

还是在1957年，5岁的丘成桐在世界的另一边过着贫困的生活。当时，香港很少有人知道微分几何是什么。他父亲14岁时去世，这让他感到世界温暖而寒冷，也造就了他不屈不挠的性格。十一年后，他进入了香港中文大学。1969年，他作为三年级学生去了伯克利。那一年，著名几何学家吴宏喜教授在给另一位著名几何学家格林的信中预言，这个19岁的年轻人将改变微分几何的面貌。很难知道吴宏喜教授是如何看待一个19岁的年轻人不寻常的王者精神的。

在研究生的第一年，丘成桐解决了微分几何中关于负曲率流形的基本群的一个结构问题。直到后来他才知道这是微分几何中著名的沃尔夫猜想。这很像米尔诺把扭结理论中的猜想当作家庭作业。当他遇到卡拉比的猜想时，他似乎看到了一个美丽的天使，并一见钟情。从那以后，童话故事为每个人所知，只有丘成桐自己能体会到痛苦和幸福。后来他告诉每个人，他成功的秘诀是努力工作，而不是天才。他尝试了近5000个实验函数来发展流形上的梯度估计技术。所以我们知道，当一个苹果落到牛顿的头上时，牛顿突然发现了微积分，这只是一个传说。为了解决卡拉比猜想，他需要系统地建立和发展流形上的非线性分析，特别是蒙-安培方程的理论、方法和技巧。他首先与郑合作，用实蒙-安培方程解决了闵可夫斯基时空中著名的闵可夫斯基猜想和伯恩斯坦问题。此后，他把自己的梯度估计技术发展到了极致，最终在1975年彻底解决了卡拉比猜想。此时此刻，除了丘成桐，最幸福的应该是卡拉比。从1954年到1975年，21年的梦想终于实现了！那个圣诞节，他、丘成桐和尼伦伯格一起在纽约的库兰特研究所度过，一整天都在讨论丘成桐的证据。卡拉比猜想终于变成了卡拉比-尤定理！

卡拉比后来回忆说，这是他一生中唯一的一次圣诞聚会，这个猜想的证据是最好的圣诞礼物。当他在1991年获得美国数学学会终身成就奖时，他动情地说，我特别要感谢丘成桐，因为他，我今天能站在这个讲台上。

塞尔说:“一个非常好的数学猜想，它的解应该被一系列的推论和持续的影响所跟随。”卡拉比猜想就是这样，我在这里只举几个例子。

首先，卡拉比猜想告诉我们，对于第一个Chen类小于等于零的紧致卡雷尔流型，卡勒-爱因斯坦度量总是存在的。对于小于零的情况，它的简单推导解决了长期存在的塞弗利猜想。复杂二维投影空间的复杂结构是独一无二的，甚至任何维度的复杂投影空间的Kale复杂结构也是独一无二的。

另一个奇怪的推论是，在这样复杂的任何维数的流形上，都有一个奇妙的表示数不等式，而代数几何学家以前只能得到复杂的二维情况。第一个陈类等于零的二维复流形是一个著名的K3曲面。托多洛夫利用卡尔比-尤定理证明了它的周期映射是满射的，肖利用卡尔比-尤度量证明了K3曲面都是Kale曲面。然而，第一个高维陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。这些都是复杂几何和代数几何中众所周知的猜想。在卡拉比猜想被证明之前，人们别无选择，只能退缩。

最令人惊讶的是，在20世纪80年代初，超弦科学家们发现第一个陈类的三维复流形等于零，而这恰好是他们的大统一理论所要求的10维时空中的6维空间。这个神秘的六维空间以我们看不到的规模统治着这个不断变化的世界。这一发现引发了物理学的一场革命。物理学家兴奋地称这种流形为卡拉比-尤空间，这是丘成桐的英文姓氏。感兴趣的朋友如果在谷歌上输入卡拉比-尤，将会发现近40万条条目。这就是为什么许多物理学家认为卡拉比是丘成桐的名字。正如威滕所说，在这场物理学革命中，每一个做出重要贡献的人都会名垂千古。加莱-YAU还引发了一系列数学上的重大进展，例如超混沌学家坎德拉等人通过研究由不同的加莱-YAU流形给出的同一个超对称共形场理论，发现了镜像对称猜想。这个猜想得到了丘成桐、连·文浩、我和吉文塔尔的独立证明。它解决了数百年来代数几何遗留下来的舒伯特计数问题。基于Calabi-Yau流形的基本结构，Chern-Simons和著名的超弦科学家Witten和Vafa等人发展的拓扑弦对偶理论，给出了黎曼曲面模空间中许多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式，它给出了无穷多个模空间中积分的组合闭公式。这个猜想被刘秋菊、周建和我证明了。可以说，卡拉比-尤流形长期以来一直是弦论者不可或缺的魔盒。利用它，他们不断地变换令人眼花缭乱的猜想，这已成为数学和理论物理发展的一个趋势，并且仍在上升。

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何新时代的到来。

霍奇的理论、小林的嵌入定理和卡拉比-尤定理是复杂几何史上三大里程碑，也是整个数学中最精彩的定理。他们有许多相似之处和不同之处。它们都是由微分几何证明的，都是连接几何与其他领域的必要桥梁，如代数几何等。他们所需要的条件既简单又容易验证。它们都包含代数几何和微分几何中最重要的流形。它们的应用都给出了稳定的重要推论，并成为复杂几何教科书中不可缺少的章节。这是数学中所有伟大定理的共同特征。

卡拉比猜想的证明也标志着微分几何新时代的到来。一门叫做几何分析的新学科诞生了。它的定义是用非线性微分方程的方法系统地解决几何和拓扑学中的问题，进而用几何的直观和思想来理解偏微分方程的结构。

在1978年国际数学家大会的大会报告中，丘成桐系统而清晰地描述了几何分析和高维单变量理论的发展前景。用这种方法解决了一系列著名的问题，特别是以唐纳森为代表的规范场理论与低维拓扑学的结合，哈密尔顿瑞奇流和庞加莱猜想的历史性进展，使几何分析的发展达到了一个高峰。

另一方面，早在1983年，丘成桐的曹怀东和班多就在他的指导下，用李氏流方法研究了卡雷尔流形状的标准度量的存在性，使得卡勒-李氏流成为研究复杂流形的重要工具之一。

另一个与卡拉比猜想密切相关的问题是代数几何中全纯向量束的稳定性问题以及它们对应的埃尔米特-爱因斯坦度量。这个问题归结为一个非常困难的问题，即与规范场理论相关的非线性方程的解的存在性。1986年，丘成桐和乌伦贝克合作以卡雷尔流的形式彻底解决了这个问题。后来，唐纳森也用不同的方法在投影流形上解决了这个问题。1988年，辛普森扩展了这些结果，并把它们与霍奇的变分理论结合起来，成为代数几何中一个极其有效的工具。

对于复流形的切丛，卡尔-爱因斯坦度量可以被认为是一个没有扭转的埃尔米特-爱因斯坦度量，所以卡尔-爱因斯坦度量意味着流形的切丛在代数几何中是稳定的，但是它需要更详细和更深刻。多年来，丘成桐一直在考虑什么样的代数稳定性对应于卡勒-爱因斯坦度量的存在。自从1988年我来到哈佛成为丘成桐的一名学生以来，他的讨论课的最大话题就是代数几何中的各种稳定性概念以及相关的测量和分析问题。丘成桐的几名学生，如田刚、李俊、梁乃聪、罗华章等，都在他们的博士论文中讨论过这个问题。他的一些想法被记录在1990年出版的100组几何习题中，这些习题是为陈省身79岁生日而编辑的。第65个问题猜测，在代数几何的几何不变量的意义上，卡勒-爱因斯坦度量的存在应该等价于稳定性。在第一个Chen类大于零的复流形上，该猜想首次给出了Kahler-Einstein度量存在的充要条件，并建立了标准度量与代数几何之间的密切关系。当时，他的许多学生，包括田刚在内，都觉得丘成桐猜想指出了一个新的研究方向，很美，很有意义，于是开始研究丘成桐猜想。在此之前，丘成桐还考虑了如何用伯格曼核的思想来近似卡勒尔-爱因斯坦度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形和带奇点的流形，并在几篇著名的综述文章中进行了详细阐述。所有这些都成为未来复杂几何发展的重要指导方针，并促使唐纳森、田刚等人在未来致力于凯勒-爱因斯坦测量。在此基础上，、郑、、、田刚等编辑出版了一系列文章，其中一些构成了田刚的博士论文。众所周知，田刚的大部分博士论文和未来的主要工作都是受到丘成桐这些思想和猜想的启发。

"落花人是独立的，雨燕是双向飞翔的."这是丘成桐在证明卡拉比猜想时用来描述自己感受的诗句。

与第一个范畴小于等于零的情况相反，第一个范畴大于零的情况仍然相当混乱，直到丘成桐提出他的猜想。首先，有这样的例子，没有卡氏-爱因斯坦度量的流形。20世纪60年代，松岛证明了Kahler-Einstein流形的自同构群必须是可约的。在20世纪80年代早期，Futaki在这样的流形上引入了具有Khler-Einstein度量的势垒函数，称为Futaki不变量。事实上，许多学者，如卡拉比和傅夫，错误地认为全纯向量场的缺失应该是卡勒-爱因斯坦度量存在的唯一必要条件，而没有认识到流形稳定性的重要性。在比较特殊复杂的二维情况下，存在一些结果，但萧一直认为这些结果是不完全的，至今也没有完全的结果。在接下来的30年里，田钢一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解在正曲率条件下稳定性与Kahler-Einstein度量的存在性之间的关系。他用fufu不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为K-稳定性，并取得了一些进展。然而，这个问题的真正突破来自唐纳森，他在2001年证明，如果在卡莱流形状上的卡莱类中有一个曲率的常数测度，并且它的自同构群是离散的，那么流形在代数几何意义上是稳定的。唐纳森的关键工具恰好是丘成桐考虑的伯格曼核的近似方法。他敏锐地观察到伯格曼核渐进膨胀的第二项是定量曲率。如果它是常数，相应的偏微分方程可以求解。自那以后，唐纳森在代数几何中引入了适于研究丘成桐猜想的K-稳定性的概念，并在2010年发表了一个证明K-稳定性和卡勒-爱因斯坦度量等价的程序。最近，陈秀雄-唐纳森-孙松在网上发表了三篇文章来实现这些想法，而田刚也声称已经在唐纳森的程序基础上完成了对这一猜想的证明。由于这些文章比较复杂，比如唐纳森等人写了三篇长文章，田刚在发表自己的文章后还在继续修改，这些证据的正确性还有待于专家的详细验证。

第一个陈类大于零的复流形也称为fano流形。这些流形比第一个Chen类小于零的流形要少得多，其内容也远不如第一个Chen类丰富。例如，复杂的一维情况只有一个球面，而复杂的二维流形从拓扑的角度来看，只放大了复杂投影空间中的几个点。更有趣的是，代数几何中研究这种流形的工具比微分几何的方法强大得多，特别是Mori在1979年利用Fano流形上的有限域技术发现了有理曲线的存在性。这是一项天才的发明，微分几何的方法至今还无法超越。有了这个工具，代数几何学家对Fano流形的几何知识就领先于微分几何的研究。

这种情况与第一类小于或等于零的情况形成鲜明对比。这两种类型的流形包含了比法诺流形丰富得多的例子。然而，由于丘成桐证明了卡拉比猜想，微分几何的方法和工具在这些流形的研究中更加有力和有效。这里我们还应该注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中解释的那样，K-稳定性不是一个容易验证的条件，它的实用性也远非丘成桐所证明的卡拉比猜想。目前，他们证明的丘成桐猜想唯一有趣的推论是丘成桐指出的。k稳定形式可以推导出切线束的稳定性。因此，即使k-稳定性等价于Kahler-Einstein度量的存在的猜想被证明，其重要性也需要在未来的应用中得到检验。另一方面，在勾画出他的猜想的证明程序后，丘成桐把这个话题交给了他的学生和朋友。一方面，他认为尽管他的猜想很重要，但它仍远非他所证明的卡拉比猜想。另一方面，他认为由弦理论引起的数学问题比他自己的猜想更具挑战性和更大的潜力。事实上，他与他的学生和博士后在卡拉比-尤流形上的研究为现代数学开辟了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想的正确性及其在几何学中的前景，只有他，这位发起者和专家，才有资格作出判断。

当然，卡拉比猜想只是丘成桐在数学上的许多成就的一部分。1978年，他29岁时被邀请在国际数学家大会上做会议报告。他在1983年获得了最高数学奖，当时他34岁。特别是，他当时是香港护照持有人或中国公民。他一直以此为荣。1983年12月22日，时任**总书记的*在*会见了为祖国争光的丘成桐教授。从那以后，他几乎获得了世界上数学家能获得的最高荣誉，包括沃尔夫奖、克劳福德奖和国家科学奖章奖。然而，卡拉比猜想的证明无疑是他数学生涯中最辉煌的一章。它承载了60年来无数数学家的荣耀和梦想，创造了40年来几何分析的传奇和荣耀。

"落花人是独立的，雨燕是双向飞翔的."这是丘成桐在证明卡拉比猜想时用来描述自己感受的诗句。从那一刻起，丘成桐成为了一个伟大的数学领袖，并在近40年的时间里引领几何的辉煌。他代表了一个数学和超弦理论的时代。正如《纽约时报》所说:他是一位值得尊敬的数学皇帝。(原标题:丘成桐和卡拉比猜想60年)