球面覆盖

球面覆盖着我们每天与之亲密接触的寝具，其卫生状况值得关注。偶尔，被套应该在洗涤时取下，然后在洗涤后穿上。然而，这并不是一项轻松的工作。虽然有一个系绳，但它仍然很难修复。做工不好。让它符合规则真的很难。总会有一些皱纹。那时，懒惰的思想不可避免地产生了。我懒得拉开被套，然后插上内芯。我只是用被套把内芯绑成粽子。严格来说，内核确实是用被套“包裹”的。被套也履行了自己的责任:堵住内芯的每一部分，防止枕木弄脏内芯。不幸的是，被套通常是无弹性的，不能伸展。包好的粽子可用的面积太小了。否则，这是一个好办法。

无论是普通的粽子还是制作粽子的方法，我们都可以说内芯被被套“覆盖”。当然，最完美的是从头到尾的光滑覆盖，内芯上的每个地方都被一层被子覆盖；如果情况稍差，有一点褶皱，在褶皱的地方，至少会有三层被套覆盖在内芯的同一位置，并且在褶皱的起点和终点还会有一些“分支点”。如果是饺子，很难说，但可以肯定的是，内芯上的每一点都至少覆盖了两层被套。

覆盖折痕，来自*

在数学家的眼中，被套可以被看作是一个球面:假设被套是弹性的，那么如果一个气球被充入被套并被吹胀，被套将自然膨胀并成为一个球面。同样，内核也可以看作一个球体。如果我们先在内芯放一个气球，然后缝合内芯和覆盖它的被套，防止它们移动，最后吹气球，那么我们将得到被套和内芯的球面的覆盖。这种覆盖范围从光滑到起皱不等。在每一点上，覆盖范围可以很小，也可以是多个。

将这些直观印象转化为数学概念是数学家的专长。用数学术语来说，球体之间的覆盖是从一个球体(被套)到另一个球体(内核)的连续全函数。如果x>xx是被套上的点，那么f(x)>f(x)f(x)是被x>xx覆盖的内芯上的点。我们希望功能是连续的，因为我们不想撕开被套，所以我们想要“保护”的也是内核上的一小块，而不是“分隔不同位置”的两块。我们要求全功能，因为我们想保护内核不受污染，所以我们要求内核上的每个点都受到保护。当然，数学毕竟是数学，它比现实更不受约束。被套在现实中不能穿过自身，而数学中的被套可以。正因为如此，我们可以“抚平”数学中的皱纹，只留下孤立的分支点，这在现实中是不可能的。然而，我们要求球面上的所有点都被覆盖相同的次数，除了分支点，这也被称为球面被覆盖的次数。

视频的原始作者杜根·吊床在他的Youtube频道上有更多关于曲面的精美视频。

然而，这和多项式有什么关系？

对数学家来说，这种关系非常大。因为他们知道由复数组成的复平面几乎是一个球体。有一种方法叫做“球面极面投影”，它可以把一个复杂的平面转换成一个只缺一个点的球体。然而，如果我们把“无限”加到复平面上，我们就可以弥补球面的缺失点，得到所谓的“黎曼球面”。黎曼球面上的有理函数，即两个多项式的商，实际上是球面覆盖。通过研究球面覆盖的性质，数学家可以间接地知道相应有理函数的性质。

*中的极平面投影

接下来，我们考虑有理函数给出的球面覆盖。球面覆盖的许多性质是由它的分支点决定的，因为分支点之外的地方非常光滑，到了什么也不能说的地步，而分支点是曲面“叠加”的地方，自然包含我们想要的性质。我们可以说球体覆盖的分支点越少，它就越简单。

那么，对于有理函数，如何找到它的分支点呢？或者以被套为例。当被套打褶时，打褶部分实际上是覆盖同一点的三层被套，但它也应该属于打褶部分的分支点，但只有一层被套。换句话说，分支点覆盖的层数比正常情况下少。通过类比，对于由函数f(x)>f(x)f(x)导出的球面覆盖，假设其覆盖数为d>dd，那么说某个点a>aa是分支点就等于说f(x)=a>f(x)=af(x)=a，这个方程的解的值小于d>dd，因为这个方程的每个解实际上是覆盖a>aa的“被面”上的一个点。换句话说，当且仅当f(x)=a>f(x)=af(x)=a具有重根时，a>aa是分支点。

让我们举一个实际的例子。我们考虑函数

f(x)=-。(x’。1)3(x’。9)64x > f(x)=(x1)3(x9)64x f(x)=(x1)3(x9)64x显然等式f(x)=0>f(x)=0f(x)=0具有三重根x=1>x=1x=1，因此0是其分支点之一；稍微出乎意料的是，如果我们从中减去1，我们将得到

f(x)-。1 =-1。(x2’。6x’。3)264 x > f(x)1 =(x26x 3)264 x f(x)1 =(x26x 3)264 x可以看出，等式f(x )- 2212；1 = 0 > f (x) 1 = 0f (x) 1 = 0有两个二次根，即二次方程x2 ’;6x’。3 > x 26 x 3 x 26 x 3，所以1也是一个分支点。最后，还有一个很难想象的分支点，那就是无穷远点，因为当x>xx趋向于无穷大或零时，f(x)>f(x)f(x)也趋向于无穷大，所以无穷远点也是一个分支点。可以证明这个函数没有其他分支点。

最简单的球形罩，没有分支点，是将内芯插入被套的最标准方法。常数映射f(x)=x>f(x)=xf(x)=x就是这样一个例子。可以证明没有只有一个分支点的球面覆盖，也就是说，第二种简单情况是有两个分支点的球面覆盖。可以证明，所有具有两个分支点的球面覆盖都可以通过适当的变换被“拉”和变形到f(x)>f(x)f(x)是多项式的情况。

数学家接下来要研究的自然是带有三个分支点的球面覆盖。使用著名的莫比乌斯变换

z’6；AZ+BCZ+D，> ZAZ+BCZ+D，ZAZ+BCZ+D，我们可以将三个分支点分别移动到0，1和无穷大(∞)，而莫比乌斯变换不会改变球面覆盖的性质。因此，我们只需要研究分支点分别为0、1和∞的球面覆盖，能够产生这种球面覆盖的函数也称为贝尔伊函数，它的名字来源于20世纪的俄罗斯数学家贝尔伊。但事实上，贝雷帽并不是第一个研究贝雷帽功能的人。早在19世纪末，伟大的数学家费利克斯·克莱因就已经利用贝雷函数构造了一些特殊的球面覆盖(更准确地说，是单值群是有限单群PSL(2，11)，是11度覆盖的球面覆盖)。

节选自道格拉斯·阿诺德和乔纳森·罗吉斯的《揭示的莫比乌斯变换》，完整版本可以在视频页面上找到。

然而，球形覆盖毕竟太抽象了。如果没有合适的工具，即使数学家也无法“填充”特定函数的覆盖范围。对一般人来说，球面可以自己穿过的事实足以喝上一壶水，更不用说想象“折痕”集中在几个分支点上的高阶覆盖。研究这些球形盖似乎很困难。

然而，数学家们说，三个分支点的球面覆盖实际上非常简单，连小孩都可以画出来。

孩子们的涂鸦需要对球体覆盖范围的更深理解和复杂的分析来讨论贝雷帽的功能。下面的内容可能有点抽象，如果真的不合适，你可以跳过它，直接看这一节的最后结论。

我们要研究的是分支点分别为0、1和∞的球面覆盖，或者某个射线函数f(x)>f(x)f(x)。既然球面覆盖的所有秘密都在于分支点，我们必须抓住这些分支点来研究。我们以前考虑过一个例子:

f(x)=-。(x’。1)3(x’。9)64x > f(x)=(x1)3(x9)64x f(x)=(x1)3(x9)64x这是一个beret函数，对应于一个球形盖。对复分析(代数基本定理)有一点了解，就很容易知道，除了一些特殊情况外，任何常数a>aa，f (x) = a > f (x) = af (x) = a都有4个解。换句话说，这个比勒菲尔德函数对应于一个数为4的球覆盖。让我们再来看看这个函数的分支点。它在f(x)=0>f(x)=0f(x)=0处有一个分支点，因为x=1>x=1x=1是这个方程的三重根，但它有另一个根x=9>x=9x=9，也就是说，0实际上对应于两个不同的点:三重根x=1>x=1x=1和单根x=9>x=9x=9。类似地，分支点1也对应于两个不同的点，这两个点都是双根。我们可以看到两个分支点的分支是不同的，但是由于它们属于同一个球面覆盖，它们之间一定有某种联系。我们如何检查它们之间的关系？

解决方法很简单:直接连接两个点。也就是说，我们想要观察两个分支点的每一层的覆盖分支是如何连接的。

更具体地说，因为球面覆盖意味着一个球面覆盖另一个球面，所以只要0和1的两个点连接在被覆盖的球面上，在获得的线段上涂覆非常厚的颜料，并且在颜料渗透到每个覆盖层之后，覆盖范围被扩展以获得球面上的地图。就术语而言，就是研究f。1()> f1()f1().那么，我们会得到什么样的图像呢？让我们以刚才的函数为例。我们得到的图像如下:

在上图中，黑点表示点x=1>x=1x=1，x=9>x=9x=9，对应于0，而白点表示点x = 3+23 > x = 3+23–√x = 3+23，x = 3’对应于1；23 > x = 323–√x = 323 .因为这个球体被覆盖的次数是4次，线段上的点实际上被覆盖了4次，也就是说，当覆盖范围扩大时，我们将看到四段曲线(四条边)，它们连接了两个点x=1>x=1x=1和x=9>x=9x=9，以及两个点x = 3+23 > x = 3+23—√x = 3+23和x = 3 ’;23 > x = 323–√x = 323 .三重根x=1>x=1x=1与三个边相连，单根x=9>x=9x=9只有一个，而两个双根x = 3+23 > x = 3+23—√x = 3+23和x = 3 ’;23 > x = 323–√x = 323分别连接两侧。x=0>x=0x=0且x =-221 e；> x=∞x=∞在两点发散，这个图形正好有两个面。外表面应该是x =-221 e；> x=∞x=∞，而内面应该是x=0>x=0x=0，并且这些面的程度(即边界的长度)与相应点处函数的发散程度有关。换句话说，仅从这张图片，我们就能读出函数本身的许多代数性质。如果由顶点连接的边的数量被称为顶点的度数，则图像属性和代数属性之间的对应关系可以总结为以下列表:

Bielefeld函数的平面二分映射覆盖0号分支点、1号黑顶点分支点、1号白顶点分支点的次数，以及1号分支点重数的次数。事实上，对于所有的比勒菲尔德函数，在相应的球面覆盖被扩展之后，线段的图像总是包含许多我们想要的代数性质:边的数目对应于覆盖的次数。黑点对应于f(x)=0>f(x)=0f(x)=0的分支，白点对应于f(x)=1>f(x)=1f(x)=1的分支，面向无限分支，每个点和每个面连接多少条边对应于在相应分支上“折叠”球面的方法。

那么，这些图像与贝雷帽功能对应的是什么？

首先，我们忽略了这些点和线的具体位置和形状，只关注它们在球体上是如何连接的。用数学术语来说，就是忽略它们的几何性质，而关注它们的组合性质。首先，因为每条边实际上来自一个线段，所以它们必须与对应于f(x)=0>f(x)=0f(x)=0的黑点和对应于f(x)=1>f(x)=1f(x)=1的白点相连。换句话说，对应于比勒菲尔德函数的图像实际上可以被抽象成二分图，其顶点是一黑一白，而每条边的两端恰好是一黑一白的两个顶点。然而，这些图像与通常提到的二分图并不完全相同。在数学中，图是一堆顶点加上一些连接顶点的边，但是连接同一个顶点的边之间没有特殊的关系。然而，对应于贝雷帽函数的图像实际上是一个绘制在球面上的图形，因此连接同一个顶点的边将包围该顶点，这给了它们一个连续的关系。这样绘制在球体(或其他封闭表面)上的地图也称为合成地图。与贝雷帽功能相对应的图像的官方名称是飞机上的两张地图。这里，即使组合的地图稍微变形，只要保持顶点、边和边之间的关系，它仍然是相同的地图。

由正方形字符串组成的由两部分组成的亏格1的地图

现在我们知道每个Beeray函数对应于一个平面上的两个映射，那么所有这些映射都对应于一个Beeray函数吗？事实上，借助一些复杂分析的知识，可以证明贝雷函数和球面上的两个映射之间存在一一对应关系。不仅如此，我们还可以将这些beret函数限制为系数为代数数的分数(代数数是具有积分系数的多项式方程的解)。这实际上是贝雷特的贡献:他在1979年证明了对于一大类重要函数(所谓的“光滑代数曲线”)，它们(适当的等价类)与从贝雷特函数导出的球面覆盖有一一对应关系。这些“光滑代数曲线”可以粗略地理解为分支点只有0、1和∝，系数是代数数的分数。换句话说，如果我们想找到一个分数的分支点满足一定的条件，我们只需要看看我们是否能根据这些条件在平面上画一个二分图。

总而言之，三个分支点的球面覆盖相当于所谓的“平面上的两个地图”。在这张地图上有两种顶点，黑色和白色，每条边连接两个顶点，黑色和白色，因此连接所有的顶点在一起。然而，球面覆盖的许多性质可以反映在地图上的顶点、边和面上。Berei证明了“光滑代数曲线”(它可能是某类系数的一部分，是代数数)与三个分支点的球面覆盖有一一对应关系。因此，为了找到其分支点满足某些条件的分数，我们只需要看看我们是否能画出两个满足相应条件的映射。然而，任何两幅地图，甚至儿童涂鸦作品，都必须有相应的分数。它的球体覆盖范围扩大后，就是两张地图。

劳伦特·巴托尔迪涂鸦的一个例子

谈了半天，有什么意义？