数学历史上的三次危机

数学史上有经济危机和三次危机。第一次危机发生在公元前580年至568年的古希腊。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这所学校融合了宗教、科学和哲学。它有固定数量的人员，并对知识保密。所有的发明和创造都归功于学校领导。那时，人们对有理数的理解仍然非常有限，他们对无理数的概念一无所知。毕达哥拉斯学派最初将数字称为整数。他们不认为分数是一个数字，而是两个整数的比值。他们错误地认为宇宙中的所有现象都归因于整数或整数的比率。根据西方的毕达哥拉斯定理，该学派的成员埃伯斯通过逻辑推理发现，一个有L条边的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比率。埃伯斯的发现被认为是“荒谬的”，违反了常识。它不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条，而且还冲击了当时希腊人的传统观点。据说埃伯斯因此被淹死在海里。

这是第一次数学危机，通过在几何中引入不可通约量的概念得到了解决。如果有第三条线段可以同时测量两个几何线段，则称它们为可约线段，否则称它们为不可约线段。正方形的一边和对角线没有第三条线段可以同时测量它们，所以它们是不可通约的。显然，只要不可通约量的存在被承认，从而几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机就将不复存在。对不可通约性的研究始于公元前4世纪的欧多克索斯，其结果被欧几里德吸收，并部分地包含在他的几何元素中。

第二次数学危机发生在17世纪。17世纪微积分诞生后，由于对微积分理论基础的推敲，数学领域出现了混乱，即第二次数学危机。微积分的形成给数学领域带来了革命性的变化，并被广泛应用于各种科学领域。然而，微积分理论中存在矛盾。无穷小是微积分的基本概念之一。微积分的主要创始人牛顿，在一些典型的推导过程中，第一步就用无穷小作为分母来除，当然无穷小不能为零。在第二步中，牛顿将无穷小量视为零，并去掉包含它的项，从而得到所需的公式。力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。重点是:无穷小是零还是非零？如果它是零，它怎么能被用作除数？如果它不为零，如何移除那些包含无穷小量的项目？直到19世纪，柯西才详细而系统地发展了极限理论。柯西认为，把无穷小量作为一个确定的量，即使是零，也不能说是通过了，这将与极限的定义相冲突。无穷小应该尽可能小，所以它本质上是一个变量，是一个以零为极限的量。柯西澄清了无穷小的概念，把无穷小从形而上学的桎梏中解放出来，基本上解决了第二次数学危机。

第二次数学危机的解决改进了微积分。

第三次数学危机发生在19世纪末。当时，英国数学家罗素把集合分为两种类型。

第一种集合:集合本身不是它的元素，即AA；第二种集合:集合本身是它的一个元素a∈a，例如，由所有集合组成的集合。那么对于任何一组B，要么是第一组，要么是第二组。

假设第一个集合的整体形成集合m，那么m属于第一个集合还是第二个集合？

如果m属于第一个集合，那么m应该是m的元素，即m∈m，但是满足m∈m关系的集合应该属于第二个集合，从而导致矛盾。

如果m属于第二集合，那么m应该满足m∈m的关系，因此m属于第一集合的矛盾。

由上述推理过程形成的俘虏理论被称为罗素悖论。由于严格极限理论的建立，数学中的第一次和第二次危机得到了解决。然而，极限理论是基于实数理论，实数理论是基于集合论。现在集合论中出现了罗素悖论，从而在数学史上形成了更大的危机。从那以后，数学家们开始寻找解决这场危机的方法。其中之一是在一组公理上建立集合论，以避免悖论。做这项工作的第一人是德国数学家切梅罗，他提出了七条公理，并建立了一个不会产生悖论的集合论。经过另一位德国数学家的改进，他形成了一个没有矛盾的集合论公理系统。所谓的zf公理系统。这场数学危机已经缓和了。数学危机给数学的发展带来了新的动力。在这场危机中，集合论发展迅速，数学基础提高得更快，数理逻辑也变得更加成熟。然而，矛盾和意想不到的事情继续出现，并将在今后继续出现。