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数学历史上的三次危机

科普小知识2022-03-02 05:57:05
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数学史上有经济危机和三次危机。第一次危机发生在公元前580年至568年的古希腊。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这所学校融合了宗教、科学和哲学。它有固定数量的人员,并对知识保密。所有的发明和创造都归功于学校领导。那时,人们对有理数的理解仍然非常有限,他们对无理数的概念一无所知。毕达哥拉斯学派最初将数字称为整数。他们不认为分数是一个数字,而是两个整数的比值。他们错误地认为宇宙中的所有现象都归因于整数或整数的比率。根据西方的毕达哥拉斯定理,该学派的成员埃伯斯通过逻辑推理发现,一个有L条边的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比率。埃伯斯的发现被认为是“荒谬的”,违反了常识。它不仅严重违背了毕达哥拉斯学派的信条,而且还冲击了当时希腊人的传统观点。据说埃伯斯因此被淹死在海里。

这是第一次数学危机,通过在几何中引入不可通约量的概念得到了解决。如果有第三条线段可以同时测量两个几何线段,则称它们为可约线段,否则称它们为不可约线段。正方形的一边和对角线没有第三条线段可以同时测量它们,所以它们是不可通约的。显然,只要不可通约量的存在被承认,从而几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机就将不复存在。对不可通约性的研究始于公元前4世纪的欧多克索斯,其结果被欧几里德吸收,并部分地包含在他的几何元素中。

第二次数学危机发生在17世纪。17世纪微积分诞生后,由于对微积分理论基础的推敲,数学领域出现了混乱,即第二次数学危机。微积分的形成给数学领域带来了革命性的变化,并被广泛应用于各种科学领域。然而,微积分理论中存在矛盾。无穷小是微积分的基本概念之一。微积分的主要创始人牛顿,在一些典型的推导过程中,第一步就用无穷小作为分母来除,当然无穷小不能为零。在第二步中,牛顿将无穷小量视为零,并去掉包含它的项,从而得到所需的公式。力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但其数学推导过程在逻辑上是矛盾的。重点是:无穷小是零还是非零?如果它是零,它怎么能被用作除数?如果它不为零,如何移除那些包含无穷小量的项目?直到19世纪,柯西才详细而系统地发展了极限理论。柯西认为,把无穷小量作为一个确定的量,即使是零,也不能说是通过了,这将与极限的定义相冲突。无穷小应该尽可能小,所以它本质上是一个变量,是一个以零为极限的量。柯西澄清了无穷小的概念,把无穷小从形而上学的桎梏中解放出来,基本上解决了第二次数学危机。

第二次数学危机的解决改进了微积分。

第三次数学危机发生在19世纪末。当时,英国数学家罗素把集合分为两种类型。

第一种集合:集合本身不是它的元素,即AA;第二种集合:集合本身是它的一个元素a∈a,例如,由所有集合组成的集合。那么对于任何一组B,要么是第一组,要么是第二组。

假设第一个集合的整体形成集合m,那么m属于第一个集合还是第二个集合?

如果m属于第一个集合,那么m应该是m的元素,即m∈m,但是满足m∈m关系的集合应该属于第二个集合,从而导致矛盾。

如果m属于第二集合,那么m应该满足m∈m的关系,因此m属于第一集合的矛盾。

由上述推理过程形成的俘虏理论被称为罗素悖论。由于严格极限理论的建立,数学中的第一次和第二次危机得到了解决。然而,极限理论是基于实数理论,实数理论是基于集合论。现在集合论中出现了罗素悖论,从而在数学史上形成了更大的危机。从那以后,数学家们开始寻找解决这场危机的方法。其中之一是在一组公理上建立集合论,以避免悖论。做这项工作的第一人是德国数学家切梅罗,他提出了七条公理,并建立了一个不会产生悖论的集合论。经过另一位德国数学家的改进,他形成了一个没有矛盾的集合论公理系统。所谓的zf公理系统。这场数学危机已经缓和了。数学危机给数学的发展带来了新的动力。在这场危机中,集合论发展迅速,数学基础提高得更快,数理逻辑也变得更加成熟。然而,矛盾和意想不到的事情继续出现,并将在今后继续出现。