物理世界奇遇记4

教授4关于弯曲空间的演讲

女士们先生们，

今天我将讨论弯曲空间及其与重力现象的关系。你们任何一个人都可以很容易地想象出一条曲线或一个曲面。我对此毫不怀疑。然而，当你提到三维弯曲空间时，你的脸都变长了。你可能会认为这是一件极其不寻常且近乎超自然的事情。为什么人们对弯曲空间有如此普遍的“不好的感觉”？这个概念真的比曲面的概念更难理解吗？如果你稍微考虑一下，许多人可能会说，你很难想象一个弯曲的空间的原因是，你不能像观察一个球的曲面那样从外面观察一个球，或者像观察一个马鞍一样的二维曲面。然而，那些说这种话的人只是揭示了他们不知道曲率的严格数学意义。事实上，这个词的数学意义与其一般用法大不相同。我们数学家说某个曲面是弯曲的，也就是说，我们在这个曲面上画的几何图形的性质不同于在平面上画的相同几何图形的性质，我们用它们偏离欧几里得经典定律来度量曲率的大小。如果你在一张平面纸上画一个三角形，那么，正如你从初等几何中所知道的，三角形的三个角的和等于两个直角。你可以把这张纸弯曲成圆柱形、圆锥形甚至更复杂的形状，但是画在这张纸上的三角形的三个角之和必须始终等于两个直角。

这种表面的几何性质不会随着上述变形而改变。因此，从“内在”曲率的观点来看，变形后获得的所有类型的表面(尽管在一般概念中是弯曲的)实际上都像平面一样平坦。

然而，如果你不撕掉一张纸，你就不能把它正确地粘在球面或马鞍面上。此外，如果你想在球面上画一个三角形(所谓的球面三角形)，那么欧几里德几何的简单定理将不再成立。事实上，我们可以用北半球的任何两条半子午线(即子午线)和它们之间的赤道形成的三角形作为例子。此时，三角形底部的两个角是直角，而顶部的角可以有任何大的角度，并且三个角的总和明显大于两个直角。

与球面相反，在鞍形曲面上，你会惊奇地发现三角形的三个角之和总是小于两个直角。

可以看出，为了确定曲面的曲率，必须研究曲面的几何性质，而从外部观察往往会产生误差。仅根据这一观察，你可能会将圆柱面和圆环面归为一类。事实上，前者是一个平面，而后者是一个不可修正的曲面。一旦你习惯了曲率这个新的严格的数学概念，你就能很容易理解物理学家在讨论我们生活的空间是否是弯曲的时候指的是什么。我们不需要去“外面”我们居住的三维空间去“看”它是否是弯曲的。然而，可以在这个空间中进行一些实验来找出欧几里得几何的普通定律是否仍然有效。

然而，你可能会觉得奇怪:为什么我们要期望空间的几何性质不同于欧几里德几何，后者已经成为“常识”？为了证明这种几何性质真的取决于各种物理条件，让我们想象一个巨大的圆形舞台，像唱片一样绕着自己的轴匀速旋转。让我们假设有一些小尺子，沿着从圆心到圆周上某一点的半径，首尾相连成一条直线；其他的沿着圆周排列成一个圆圈。

观察者A相对于放置舞台的房间是静止的，在观察者A看来，当舞台旋转时，那些沿着舞台圆周放置的测量标尺在它的长度方向上移动，所以它们将缩小(正如我在第一次演讲中所说的)。这样，为了完成圆，测量尺必须比工作台静止时使用得更多。然而，沿着半径放置的那些测量标尺的长度方向与运动方向成直角，因此不会发生缩放。因此，无论载物台是否旋转，都将使用相同数量的测量标尺来填充从载物台中心到圆周上某一点的距离。

可以看出，沿圆周测量的距离c(用所需的测量刻度数表示)通常大于2πr，其中r是测量半径。

我们知道，在观察者A的眼中，这一切都是合理的，因为测量尺沿着圆周的移动产生了缩放效果。然而，站在舞台*并随舞台旋转的观察者b是什么情况呢？她会怎么看待这个问题？由于她看到的两组测量标尺的数量与观察者A的数量相同，她还会得出结论，这里周长与半径的比值不符合欧几里得几何。然而，如果舞台是在一个没有窗户的封闭的房子里，她看不到舞台在转动。那么，她会用什么理由来解释这种异常的几何性质呢？

观察者B可能不知道舞台在转动，但他会意识到她周围正在发生一些奇怪的事情。她会注意到，放在舞台不同位置的物体并不是静止不动的，它们都是从中心向外围加速的，它们的加速度取决于它们的位置和离中心的距离。换句话说，它们似乎都被一种力(离心力)所支配。这是一种非常奇怪的力量。不管物体在什么特定位置，质量有多大，这个力总是以完全相同的加速度把它们加速到外围。换句话说，这种“力”似乎能够自动调整其强度以匹配物体的质量，因此它总是能够产生特定于物体位置的加速度。因此，观察者b会得出结论，这个“力”和她发现的非欧几里德几何性质之间一定有某种关系。

不仅如此，我们还可以考虑光束传播的路径。对于静止的观察者A来说，光总是沿着直线传播。然而，如果一束光穿过旋转平台的表面会怎么样呢？尽管在观察者a看来，光束一直沿着直线行进，但是它在旋转台表面上画出的路径不是直线，因为光束穿过台需要一定的时间。在此期间，舞台已经转了一个特定的角度(这就像当你用一把锋利的刀在旋转的唱片上画一条直线时，唱片上的划痕将是一条曲线而不是一条直线)。因此，站在旋转台中心的观察者B会发现，当光束从旋转台的一侧传到另一侧时，光束不是沿着直线而是沿着曲线传播。她会像前面提到的周长与半径之比一样，将这一现象归因于她周围的特殊物理条件所产生的特殊“力”。

这个力不仅影响几何性质(包括光传播的路径)，还影响时间的进程。这种情况可以通过在旋转台的外围放置一个时钟来演示。观察者B会发现这个时钟比放在舞台*的时钟走得慢。从观察者a的角度来看，这个现象是最容易理解的，因为他注意到放置在外围的时钟随着舞台的旋转而移动，所以它比放置在舞台中心的时钟更容易理解。当具有相同位置的时钟到来时，其时间被延长(时钟慢效应)。然而，观察者b，因为他没有意识到舞台的旋转，必须把钟的缓慢运动归因于前面提到的“力”的存在。这样，我们可以知道几何性质和时间过程都可以成为物理环境的函数。

现在让我们谈谈一个不同的物理情况——这是我们在地面附近发现的:所有物体都被重力吸引到地面上。这有点类似于旋转台上的一切都被抛向外围的情况。如果我们注意到下落物体的加速度只与它的位置有关，而与它的质量无关，这种相似性就更明显了。从下面将要介绍的例子中，我们可以更清楚地看到重力和加速度之间的对应关系。

假设有一艘专门从事星际旅行的宇宙飞船。它*地漂浮在太空的某个地方，不管哪颗星离得多远，所以宇宙飞船里没有重力。结果，在这样一艘宇宙飞船中的所有物体，包括在里面旅行的实验者，都没有重力。他们将像凡尔纳著名的幻想小说中的奥尔登和他的同伴一样，在他们的月球之旅中*飘浮。

现在，引擎启动，我们的宇宙飞船开始移动并逐渐增加速度。宇宙飞船里会发生什么？很容易看出，只要宇宙飞船处于加速状态，宇宙飞船内的所有物体都会显示出向宇宙飞船底部移动的趋势，或者换句话说，宇宙飞船的底部会向这些物体移动——这两种说法是一回事。例如，如果我们的实验者手里拿着一个苹果并释放它，那么苹果将继续以固定的速度移动——也就是说，飞船释放苹果时的移动速度——相对于周围的恒星。然而，宇宙飞船本身正在加速。结果，机舱底部最终会追上苹果，随着它在整个过程中的移动速度越来越快，撞到它。从这一刻开始，苹果将一直与底部接触，并以稳定的加速度压在底部。

然而，在飞船内的实验者看来，苹果以固定的加速度“坠落”，并在撞击底板后继续靠自身重力压在底板上。如果他让其他物体再次下落，他会进一步发现所有这些物体以完全相同的加速度下落(如果空气的摩擦力被忽略)，然后他会认为这是伽利略的*落体定理。事实上，他找不到加速舱中的现象和一般重力现象之间的丝毫区别。他可以用带钟摆的钟，把书放在书架上，不用担心它们会飞走，还可以把爱因斯坦的画挂在钉子上。众所周知，爱因斯坦是第一个指出参考系的加速度等于重力场的人。他也在此基础上提出了所谓的广义相对论。

然而，就像转动舞台的例子一样，在这里我们会发现一些伽利略和牛顿在研究重力时不知道的现象。这时，穿过船舱的光线将会弯曲，并以飞船不同的加速度投射到对面墙上屏幕的不同部分。当然，在舱外的观察者看来，这可以解释为光的均匀线性运动和航天器舱的加速运动叠加的结果。机舱内的几何形状也一定不正常。一个由三条射线组成的三角形，它的三个角之和不等于两个直角，一个圆的周长与它的直径之比将大于正常的π值。这里，我们考虑加速度系统的两个最简单的例子。然而，上述等效性也适用于任何指定的刚性(或不可变形)参考系统的运动。

现在我们将接触到最重要的问题。我们刚刚看到，在加速参考系中，许多在一般引力场中没有观察到的现象可以被观察到。那么，在由可测量质量产生的引力场中，像光的弯曲或时钟的缓慢移动这样的新现象是一样的吗？

为了测量引力场中光的曲率，使用前面提到的宇宙飞船的例子更方便。如果l是座舱的跨度，那么光传播这个距离所需的时间是

(5)

在这段时间里，航天器以加速度g移动的距离是l，从基本力学公式中，我们知道

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因此，指示光方向变化的角度具有以下数量级

(7)

光在引力场中传播的距离越大，φ的值就越大。当然，航天器的加速度现在应该被解释为重力加速度。如果我现在让一束光穿过这个演讲厅，我可以粗略地取L = 10米。地面重力加速度g = 9.81m米/秒2，c = 3x108米/秒，所以

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通过这种方式，你可以看到在这种情况下，光的曲率肯定是不可观察的。然而，在太阳表面附近，g = 270米/平方秒，光在太阳引力场中行进的路径非常长。一些精确的计算表明，通过太阳表面附近的光束的偏转应该等于1.75弧秒。天文学家在日全食期间观察到。恒星在太阳旁边的表观位移正是这么大。现在，由于天文学家使用来自类星体的强射电辐射，他们不必等到日全食时才进行测量。即使在光天化日之下，从类星体发出并经过太阳的无线电波也能被毫无困难地探测到。正是这些测量使我们能够最精确地测量光的弯曲。

因此，我们可以得出结论，我们在加速系统中发现的光的弯曲实际上和它在引力场中的弯曲是一样的。然后，观察者B在旋转的舞台上发现了另一个奇怪的现象——放置在舞台外围的时钟移动缓慢，是不是一样？在地球的重力场中，放置在地面某处的钟表会有相似的表现吗？换句话说，加速度产生的效果不仅与重力产生的效果非常相似，而且完全相同吗？

这个问题只能通过直接实验来解决。事实上，这样的实验已经证明，时间可以受到普通重力场的影响。通过加速运动和引力场之间的等效关系，预期的效果非常小，这就是为什么科学家在开始具体探索之前无法发现它们。

以旋转台为例，很容易确定时钟速度减慢的数量级。根据基本力学，离中心的距离是r。质量为1的粒子上的离心力可以通过以下公式计算:

(9)

其中ω是旋转台的固定角速度。因此，当粒子从中心移动到边缘时，这个力所做的总功是

(10)

其中r是舞台的半径。

根据上述等效原理，我们应该把f看作舞台上的吸引力，把w看作舞台中心和边缘之间的吸引力差。

我们应该记住，正如我在上次演讲中提到的，以速度v移动的时钟比不移动的时钟移动得慢。差异是一个因素

如果v与c相比非常小，我们可以省略第2项之后的所有项目。根据角速度的定义，v = rω，因此“减速因子”变为

(11)

这是时钟速率的变化，由两个位置之间的重力位差来表示。

如果我们把一个钟放在埃菲尔铁塔的底部(300米高)，另一个钟放在铁塔的顶部，因为它们之间的电位差很小，底部的钟的慢度系数只有0.9999999999

然而，地球表面和太阳表面之间的重力电势差要大得多，由此产生的减速因子等于0.999999995，这可以通过非常精确的测量来检测。当然，没有人想把普通的钟移到太阳表面去看看它是怎么走的。物理学家有一些更好的方法。使用分光计，我们可以观察太阳表面不同原子的振动周期，并将其与实验室本生灯火焰中相同元素原子的振动周期进行比较。在太阳表面上，原子的振动应该比在地面上慢。两者之间的差异是由等式(11)给出的减速因子。因此，它们发出的光应该比来自地面光源的光稍微红一些，也就是说，它们发出的光的频率将向光谱的红色端移动。这种“红移”确实在太阳光谱中观察到了。对于能够精确测量光谱的其他恒星，也观察到了这种效应，并且观察到的结果与我们的理论公式给出的值一致。

现在，我们可以回来讨论空间的曲率。你可能还记得，我们用最合理的直线定义得出结论，在非匀速运动参考系中获得的几何图形不同于欧几里得几何图形。因此，这样的空间应该被认为是一个弯曲的空间。由于任何重力场都相当于参考系的某种加速度，这意味着任何有重力场的空间都是一个弯曲的空间。我们可以进一步说，重力场只是空间曲率的一种物理表现。因此，每个点的空间曲率应该由质量分布决定，在重物体(或天体)附近，空间曲率应该达到最大值。因为描述曲线空间性质及其与质量分布关系的数学公式相当复杂，我不能在这里介绍它。我只想说，这个曲率通常不取决于一个量，而是取决于几个不同的量。这些量通常被称为重力势的分量gμν，它是我们前面用W表示的经典物理重力势的延伸。相应地，每个点的曲率也可以用几个不同的曲率半径来描述，通常记为Rμν。这些曲率半径和质量分布之间的关系用爱因斯坦的基本方程来描述:

现实世界的冒险(连载小说)4

(12)

其中r是另一个曲率，代表曲率原因的源项Tμν取决于密度。速度和质量产生的重力场的其他性质。g是一个熟悉的引力常数。

这个方程已经通过研究水星的运动得到了验证。这颗行星离太阳最近，所以它的轨道最敏感地反映了爱因斯坦基本方程的细节。人们发现，它的轨道近日点(也就是这颗行星沿其扁椭圆形轨道运动时最靠近太阳的点)在空间上并不固定，但它会每一圈都系统地改变它相对于太阳的方位。这种进动部分是由于其他行星的引力场对水星的扰动效应，部分是由于水星运动产生的质量增加了狭义相对论。然而，仍然有非常小的盈余(每世纪43弧秒)，这不能用旧的牛顿万有引力理论来解释，但可以用广义相对论来解释。

对水星的观察，加上前面提到的其他实验结果，证实了我们对广义相对论的判断是正确的——这是引力理论，它能最好地解释我们在宇宙中实际看到的各种现象。

在结束这次演讲之前，我想指出等式(12)的两个重要结论。如果我们考虑的是一个质量均匀分布的空间，比如我们的恒星和星系空间，那么我们将得出结论，除了个别恒星附近偶尔出现的大曲率，这个空间通常会在很大的距离上均匀弯曲。数学上，方程(12)有几个不同的解，其中一些等价于空间本身最终是封闭的，因此具有有限的体积；其他解代表类似于鞍形曲面的无限空间，我在这篇演讲的开头提到过。等式(12)的第二个重要结果是，这样的弯曲空间应该总是处于膨胀(或收缩)状态。从物理上讲，这意味着分布在这些空间中的粒子应该保持彼此远离飞行(或者相反，它们应该保持彼此靠近)。不仅如此，我们还可以证明，对于一个体积有限的有限空间，膨胀和收缩是周期性交替的——这就是所谓的脉动宇宙。然而，无限的“马鞍状”空间总是处于扩张(或收缩)状态。

在各种可能的数学解中，哪一个适合我们生活的空间？这个问题只能通过对星系团运动的实验观察来解决(包括它们相互散射的速度减慢)，或者通过把所有现存的宇宙质量加在一起，然后计算减速效应。目前，天文学获得的证据不是很清楚。然而，有一点是肯定的——我们的空间目前正在扩大。然而，这种扩张有一天会变成收缩吗？我们空间的大小是有限的还是无限的——这两个问题没有明确的答案。

乔治·加莫夫