国际象棋中的数学证明问题

棋盘是一个8×8 64的正方形。欧拉研究了棋盘上的跳跃问题。他证明了一匹马有一条跳跃路线，从一个点开始，穿过每个方格一次，而且只穿过一次。最后跳回原点。

上面提到的这种跳马路线叫做棋盘上的马步哈密顿圈。如果一个人可以跳回到起点而不限制最后一步，这就是所谓的“马步”哈密顿路。m，n的定义是一个正整数，而(m，n)马意味着在一个足够大的棋盘上，m，n个正方形或n，m个正方形可以在一步之内垂直和水平跳过。因此，象棋马是(1，2)匹马。下面是一个描述(2，3)和(1，2)马之间本质区别的定理。该定理从8×8棋盘上的任何一点开始，不存在(2，3)步哈密尔顿路径。该卡将8×8棋盘分为两个区域，即A和B，并在两种情况下进行证明:

(1)如果起点在区域A，则有一条(2，3)马步汉密尔顿道路，它可以到达区域A中的一个网格或区域B中的一个网格，因为它从区域A中的任何网格穿过一个(2，3)马步；然而，一匹马只能通过一个步骤(2，3)从区域B的一个网格跳到区域A的一个网格。注意，区域A中的网格数量与区域B中的网格数量相同。因此，有必要从区域A交替跳转到区域B，然后从区域B跳转到区域A，从而可以跳过区域A和区域B而不重复。另一方面，我们把棋盘染成黑色和白色。这样，从区域A的白色(黑色)网格到区域B的黑色(白色)网格，通过一个步骤(2，3)的马，然后从区域B的黑色(白色)网格到区域A的白色(黑色)网格，通过一个步骤，如果我们继续这样，我们只能跳过区域A的白色(黑色)网格和区域B的黑色(白色)网格，这与有(2，3)匹马的马的哈密尔顿路是矛盾的。

(2)如果起点在区域b，并且如果存在一个马步哈密顿回路，(2，3)马不能在区域b和区域a之间交替跳跃，否则它被简化为情况(1)的类似证明。因此，从一个区域到另一个区域有一步且只有一步的跳跃，因为区域A和区域B中的方块数相等，马必须从区域B的方块跳到区域A一步(2，3)。考虑下面的3行，现在考虑(2，3)p，q，r之间的跳转。如果p，q，r没有被跳过。有以下情况:(1)(2，3)马先跳到p点(先跳到r点的情况类似)。从a和b区域的结构可知，a区域必须跳到点P。然后从(2，3)匹马从P跳到Q，从Q跳到r。如果不是最后一点，就不跳过。那么下一步必须跳到A区的一个点上。这样，A区之间就有两次跳跃，所以R是最后一个没有跳过的点。当r是最后一个没有跳过的点时，考虑点S、T、U之间的(2，3)跳马。当先跳到S或U时，从上面的讨论可以看出，在S、T和U之间将有第二次从A区跳到A区；当首先跳到T时，从下面(ii)中的推理可知从区域A到区域A至少有两次跳跃。

(ii) (2，3)如果马先跳到q点，(2，3)如果马从q跳到p，p必须先跳到a区，然后从a区跳到r点。经过几个步骤，从a区到a区至少会有两次跳跃(q先跳到r，然后跳到p，讨论是一样的)

如果它不从Q跳到P或R，它必须跳到A区的某一点。在接下来的跳跃中，不可避免地会有一个从A区跳到P区，一个从A区跳到R区，以及至少两个从A区跳到A区。总之，从A区到A区至少有2步(2，3)马跳，这与(2，3)马步哈密尔顿路的存在以及A区和b区的平方数相等是不一致的。证明了这个定理。