俗语新解，用数学的眼光看世界

许多俗语实际上是人们对经验的概括。它们可能不准确，但总有些道理。如果我们试图从数学的角度来分析这些谚语，我们会得到什么结果？

最后，住在山边的人喜欢上山打猎，不喜欢上山采药。简而言之，他们经常与大自然有密切的接触。然而，在古代，环境并没有遭到如此严重的破坏。山上有老虎是很常见的。虽然一只老虎的领地可以达到几平方公里，但它并不是每天都在这片领地上游荡，所以在山里狩猎时遇到老虎的概率并不高。然而，对于那些每天在山上打猎的老猎人来说，他们在职业生涯中很少遇到老虎。所谓“山多必有老虎”，大概就是指这种情况。

假设每次猎人上山打猎，遇到老虎的概率是p，也就是说，不遇到老虎的概率是p。那么，在m次狩猎中，永远不遇到老虎的概率是(p) m。只要有可能遇到老虎，就等于说p>0。当m越来越大时，p m越来越小，趋于0。也就是说，虽然每次遇到老虎的概率不高，但如果你每天都去打猎，总有一天你会不走运。

有些人可能会反过来想:每次我买一张彩票，赢得一等奖的概率不是0，然后有一天我会赢得一等奖。这个想法既对又错。理论上讲，如果你一直买它，总有一天你会得奖，但是在你赢得第一名之前你会买多少次呢？以36对7为例，获得一等奖的概率是1/C(36，7)，所以在C(36，7)周期中会有一等奖，这大约是800万个周期，或大约20，000年。20，000年后，是否有幸运彩票仍然是个问题。

对于猎人来说，每次上山都遇到老虎的概率显然没有那么低。如果听到老虎的吼声也被认为是遇见老虎，千分之一应该被认为是一个很好的估计。根据这种计算，在大约1000次狩猎旅行后，会遇到一只老虎。对于经常上山的猎人来说，这个数字已经存在了10多年。难怪“当你上山时，你最终会遇到一只老虎。”

目前，环境已经被严重破坏，如果一个人遇到老虎，他只能去动物园，但山是非常安全的。“老虎在繁荣”等等只能是笑话。

坐在山上空空如也“坐在山上空空如也”可能是对那些只想吃饭而不工作的人的一个警告，不管家里有多少钱，他们总有一天会吃的。

在忽略货币变化的前提下，假设家庭的储蓄是M，一顿饭只花M，这些储蓄只能支持M/m顿饭，也就是说，不可能永远吃下去。

在数学语言中，只要m不是0，不管m有多小，如果我们把相同的m加起来，我们可以得到任意多的数字。这个性质叫做实数的阿基米德性质。

利用阿基米德性质，我们可以解释0.999的问题...=1。假设p=0.999...如果p不等于0，则p是一个正实数。根据阿基米德的性质，总有一个整数M，使得M*p>=1。因此，p=p=0.999...然而，这是不可能的，因为1/M总是以小数点后的非零值开始，导致1/M不等于0.999。这个矛盾表明我们的假设是错误的，也就是说，0.999...=1。

我们许多常见的数都有阿基米德性质，例如有理数、实数和复数。当然，对于复数来说，“你想要多大就有多大”需要重新定义，这通常由它的范数来定义，也就是说，在复平面上与原点的距离。在复数中，我们应该说我们可以得到范数和数。

还有一些数字没有阿基米德性质，比如p数。它们的结构通常比实数复杂得多，可以表达更多的东西。

长期赌博注定会失败。我从来没有听说过有人经营赌场并且很富有。我从未听说过有人能通过赌博过上幸福的生活。相反，有无数的人失去了家园。如果你在赌场赌博，你可以利用优势和劣势。直截了当地说，在赌场赌博相当于直接向赌场老板寄钱。即使是一对一的平等机会赌注，如果你继续赌博，你总有一天会输。这是“一个必须输掉的长期赌注”

让我们假设每场游戏的赌注是1，而游戏者的财产是n。在每场游戏中，游戏者有1/2的获胜机会和1/2的失败机会。所以，如果你继续这样赌博，赌徒失败的可能性有多大？

显然，赌徒们的钱越多，他们需要输掉的游戏就越多。当赌徒的财产是n时，我们注意到输的概率是p(n)。因为一半的赌注可能赢，一半可能输，所以当赢时，财产变成n+1，当输时，它变成n-1，所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2。当n=0时，即使没有赌博，一切都会失去，所以p(0)=1。

因此，P可以被视为满足以下递归关系的序列:

p(0)=1

P(n+1)=2p(n)-p(n-1)，即p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1)

很容易验证p(n)=n*p(1)-(n-1)完全符合上述递推关系。因为p(n)>=0，对于任何n，必须有p(1)>=1/n，所以p(1)=1，因此对于所有n，p(n)=1。在无限赌博中，赌徒在某一次赌博中失败的概率是1。

赌徒的赌博轨迹可以用所谓的马尔可夫链来描述。赌徒的财产被认为是一种状态，每一次下注都相当于在这些状态之间转换，在赢的时候转换到更多钱的状态，在输的时候转换到更少钱的状态。破产的状态就像一个陷阱，不能跳出，因为没有赌博资本。如果一个有限马尔可夫链有这样一个“陷阱”状态，并且每一个状态都有可能到达这个“陷阱”，那么它将在连续的过渡中有一天落入这个“陷阱”。而且即使它是一个无限的马尔可夫链，在赌徒和拥有无限资本的赌场之间，即使它等于赌博，因为赌徒拥有有限的赌博资本，他们总有一天会输。所谓“长期赌博一定要输”实际上就是这个意思。