希尔伯特的23个问题

希尔伯特(1862.1.23 ~ 1943.2.14)是20世纪上半叶德国乃至世界上最伟大的数学家之一。在跨越两个世纪的60年研究生涯中，他几乎走遍了现代数学的所有前沿阵地，从而将自己的思想深入到整个现代数学中。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心。凭借他的勤奋和真诚的个人品质，他吸引了来自世界各地的年轻学者，使哥廷根的传统在世界上有影响力。希尔伯特去世时，德国杂志《自然》发表了这样一种观点，即有一位罕见的数学家，他的工作在某种程度上不是从希尔伯特的工作中衍生出来的。他就像数学世界的亚历山大，在整个数学地图上留下了他的名字。

1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了20世纪数学家需要研究的23个最重要的问题。这就是著名的“希尔伯特23问题”。

1975年，在美国伊利诺伊大学举行的一次国际数学会议上，数学家回顾了25年来希尔伯特23个问题的研究进展。当时的统计数据显示，大约一半的问题已经解决，另一半的大部分已经取得重大进展。

1976年，在美国数学家选出的1940年以来美国数学的十大成就中，有三项是希尔伯特对问题1、5和10的解答。因此，解决希尔伯特问题是当代数学家的一大荣誉。

以下摘录自1987年出版的《数学家词典》和其他文献中收集的希尔伯特的23个问题及其解答:

1.连续性假设1874年，康托推测可数集的基数和实数的基数之间没有其他基础。这是著名的连续统假说。1938年，歌德证明了连续统假设和世界公认的泽尔梅洛-弗伦克尔集合论公理系统之间并不矛盾。1963年，美国数学家科恩证明了连续假设和zermelo-Lenkel集合论公理是相互独立的。因此，连续统假设不能在zermelo-frenkel公理系统中被证明是正确的。希尔伯特的第一个问题在这个意义上已经解决了。

2.算术公理的相容性欧几里德几何的相容性可归因于算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明理论的方法来证明它。1931年，哥德尔的不完全性定理否定了这一观点。1936年，德国数学家哥德在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

3.两个等底等高四面体的等体积问题

这个问题意味着有两个边长相等、高度相同的四面体，它们不能分解成有限数量的小四面体，从而使两组四面体相互一致。M.w .邓恩在1900年对这个问题给出了明确的答案。

4.两点间最短直线的问题太普遍了。有许多几何图形满足此属性，因此需要添加一些限制。1973年，苏联数学家波格雷洛夫宣布，这个问题是在对称距离条件下解决的。

《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在各种特殊度量几何的构造和探索方面取得了许多进展，但问题仍未解决。

5.连续变换群的李概念。定义该群的函数不被假定为可微的问题被简单地称为连续群的解析性，即每个局部欧氏群是否都有李群？冯·诺伊曼(1933，紧致群的情况)、班德里·雅金(1939，交换群的情况)和谢瓦尔德纳泽(1941，可解群的情况)的努力在1952年由格里森、蒙哥马利和齐平共同解决，并获得了完全肯定的结果。

6.公理物理希尔伯特建议所有的物理，首先是概率和力学，都应该用数学公理方法推导出来。1933年，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫实现了概率论的公理化。后来，他在量子力学和量子场论方面取得了巨大的成功。然而，许多人怀疑物理学是否完全不言自明。

7.一些数的非理性和超越1934年，a . o . gelfand和t schneider独立地解决了问题的后一半，即任何代数数的α ≠ 0，1和任何代数无理数的β证明了α β的超越性。

8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。黎曼猜想总体上仍有待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润(1966)，但它仍远非最佳解。目前，孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

9.为了证明任何数域中最普遍的互易定律，日本数学家takagi (1921)和德国数学家e . attin(1927)已经解决了这个问题。

10.丢番图方程的可解性找到了一个整系数方程的整数根，这就是丢番图方程的可解性。希尔伯特问道，由有限步组成的一般算法能用来判断丢番图方程的可解性吗？1970年，苏联的马蒂亚斯维奇证明了希尔伯特的预期算法并不存在。

11.系数为任意代数数的二次h . hasse(1929)和c . l . Siegel(1936，1951)在这个问题上得到了重要的结果。

12.将阿贝尔域中的克罗克定理推广到任何代数有理域的问题只有一些零星的结果，远远没有完全解决。

13.用一个只有两个变量的函数来解七次方程是不可能的。七次方程的根取决于三个参数A、B和C，即x=x(a、B和C)。这个函数可以表示成二元函数吗？苏联数学家阿诺德解决了连续函数的情况(1957)，而Vishkin将其推广到连续可微函数的情况(1964)。然而，如果需求是一个分析函数，那么这个问题还没有解决。

14.证明了一类完备函数系统的有限性与代数不变量有关。1958年，日本数学家吉田给出了一个反例。

15.舒伯特计数计算的严格基础一个典型的问题是:三维空间中有四条直线。有多少条直线可以与这四条直线相交？舒伯特给出了一个直观的解决方案。希尔伯特要求对这个问题进行归纳，并给出一个严格的基础。现在有一些可计算的方法，它们与代数几何并不密切相关。然而，严格的基础尚未建立。

16.代数曲线和代数曲线曲面的拓扑问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线中封闭分支曲线的最大数量。后半部分要求讨论极限环的最大数目和相对位置，其中x和y是x和y的n次多项式。苏联的彼得罗夫斯基声称证明当n=2时极限环的数目不超过3，但这一结论是错误的，已被中国数学家(1979)反驳。

17.正半定形式的平方和表示对于所有数组(x1，x2，...，xn)。它可以写成平方和吗？1927年，阿丁证明了这一点。

18.德国数学家毕马(1910)和莱因哈特(1928)部分解决了用全等多面体构造空间的问题。

19.很少有人研究正则变分问题的解是否必须是解析的。伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等。有结果了。

20.一般边值问题发展非常迅速，已经成为数学的一个大的分支。目前，研究仍在继续。

21.Hilbert本人(1905)和h . Raul(1957)证明了具有给定阶值组的线性微分方程解的存在性。

22.由自卫函数组成的解析函数的均匀化涉及到困难的黎曼曲面理论。1907年，p·库珀取得了重大突破，但其他方面尚未解决。

23.变分方法的进一步发展并不是一个明确的数学问题，而只是变分方法的一般观点。变分法自20世纪以来有了很大的发展。

这23个问题涉及现代数学最重要的领域，推动了20世纪数学的发展。