黎曼和黎曼猜想

德国著名数学家希尔伯特(1862—1943)晚年被问及一个有趣的问题:“假设你死后一两年能复活，你会怎么做？”

希尔伯特回答道，“我首先要问黎曼猜想是否已经解决了？”原来，他在1900年把这个问题列为20世纪数学家面临的一个重要问题。当然，如果他能起死回生，他关心的是这个问题是否已经解决。

格奥尔格·弗里德里希·波恩哈德·黎曼(1821866)出生于德国汉诺威一个小村庄的清教徒家庭(当时该地区属于大英帝国)。他的父亲是当地的牧师。

5岁时，他喜欢历史，对古代战争感兴趣，并同情在外国统治下的波兰人的命运。不久，他被数学所吸引，他能够为他的姐姐和哥哥做一些数学题(他家有6个孩子，他是第二个)。)

在学校学习时，他需要用德语和拉丁语写作文，但是他写得很慢，经常修改。然而，他在数学方面很突出。在他死后，他的高中数学老师，施马尔福斯，回忆起他16岁时向他借书的故事:“他来向我借书，谦虚地说:‘我希望有一本不容易的书。“我指的是我书架上的书。他选择了法国数学家勒让德的数论，我对他说:“试试看你能理解多少。”这是星期五下午，他下周四会把书带回来。我问，“你读了多少？”他回答说:“这本书非常精彩。“我已经完全理解了，”从那以后，他再也没有读过这本书。我从勒杜德的书里拿了一些问题来测试他的毕业考试。他回答得很好，好像他专门为了准备考试而读了这本书。数论对他有特殊的吸引力。之后，他读了勒让德的几何书，并从我图书馆的几何书中选了许多问题来做。在高中时，他证明了自己是一名数学家。他有很强的直觉能力和抽象推广能力。"

19岁时，他进入科廷根大学学习哲学和神学。他的父亲希望他将来能成为一名传教士。然而，他对数学非常感兴趣。从1846年到1847年，他不仅学习数学方程的数值解和地磁，还学习德国数学家高斯和斯特恩的定积分的最小二乘法。

1847年，他转到柏林大学，那里有三位著名的教授:雅各比、勒尤尼·狄利克雷和施泰纳。两年中，他学习了理论力学、高等代数、数论、积分理论、偏微分方程和椭圆方程。

当他回到科廷根准备他的博士论文时，为了减轻他父亲的经济负担，他参加了一个由高斯的朋友韦伯和其他人主持的数学物理研讨会，并作为韦伯的助手做一些物理实验和给一些物理初学者讲课。这些事情使他花了一些时间，这影响了他提前提出他的论文。1851年11月，他发表了《复变函数论的一般理论基础》。高斯高度评价了这篇论文，说他多年来一直想写一篇这样的论文。

黎曼这时给他父亲写信说:“我希望通过提交这份完整的论文来改善我的未来。我也希望写这篇论文的过程能训练我，这样当我进入这个社会时，我能写得更流利更快。我现在感到非常高兴。”

1854年，黎曼成为了科廷根大学的讲师。三年后，他成为助理教授，并于1859年成为正教授。不幸的是，1862年他患了肺病，不得不去意大利休养。他于1866年在意大利去世，刚好够大

德国数学家克莱因这样评价他:“黎曼有很强的直觉。凭借这一天赋，他超越了当代数学家。在他感兴趣的领域，他不会让传统误导他，不管当局是否会接受这项研究的肯定。......他像流星一样出现又消失。他的活跃期只有15年。他在1851年完成了他的论文。他于1862年生病。他死于1866年。......黎曼认为，对现代函数理论发展的影响是缓慢而渐进的，他的工作不会引起当代的突然革命。这主要是由于黎曼的工作不容易理解，此外，他的想法非常新颖和奇怪。……”

黎曼假设

现在，在1858年，他写了一篇关于素数分布的八页论文，其中他提出了著名的黎曼假设。这个猜想已经提出了100多年，许多著名的数学家试图证明它，就像登山者希望攀登珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰很难到达。目前，有些人已经登上了世界高峰，但没有人能证明这个猜想！

为了解释这个猜想，我们需要先谈谈这个问题的根源。人类知道这些正整数2，3，5，7，31，59，97已经有几千年了。除了1和本身，没有其他因素。他们称这些数字为质数。希腊数学家欧几里德证明了正整数集合中有无穷多个素数，他通过反证法证明了这一点。(读者请参考第一集《数学和数学家的故事》中的证明。)

著名的瑞士数学家欧拉(Euler 1707—1783)在1737年给出了欧几里得定理的另一个巧妙的证明。

人们早就知道下面的调和级数不会收敛(也就是说，和是无穷的)。

欧拉在1737年左右引入了泽塔函数

如果让p代表所有的素数集合，也就是说，欧拉发现对于S≥1，我们有

我们在右边看到，如果展开，每个项目看起来都像

这里p1，p2，...，pr是质数。

根据算术的基本原理，我们知道任何正整数都是素数平方的乘积，并且只有一个表达式。

如果素数的数量是有限的，当s逐渐接近1时，我们看到

由此可见，质数的数量是不可限制的。

1858年，黎曼在他唯一一篇关于数论的文章中将齐次函数的域扩展到复域。他会研究什么样的复数来使ζ(s)=0？他在文章中给出了以下著名的猜想:“所有非实数都是ζ(s)

哈迪和黎曼猜想

英国著名数学家哈代(1877—1947)是华在剑桥大学研究数论时的指导教授。

自从牛顿出现在英国，数学家们就一直关注应用数学。它的数学家没有像欧洲的德国和法国那样在纯数学领域做出巨大贡献和新发现。到19世纪末，哈迪使英国因他在纯数学方面的工作而闻名。

哈迪在牛津和剑桥大学任教。他从来不想为了学习数学而成家，但是他的姐姐照顾他。他性格古怪，在宗教*强大的高等学府里，敢于公开说“上帝是我的敌人”。他从不走进教堂或参加宗教仪式。

哈迪是“板球迷”。每年夏天，他都会等到板球赛季结束后去欧洲度假。他拜访了几个好朋友，和他们讨论和研究数学。

每次他们去丹麦，都会遇到他的好朋友哈那德·玻尔。他们会坐下来，在一张纸上写下一些需要解决和讨论的议程。然后他们将讨论一个小时，然后一起出去散步。在每次会议上，哈迪经常在议程的第一项写道:“证明黎曼假设！”

然而，这个提议直到暑假结束后才得以解决，他不得不回到英国去教书。第二年夏天，他回到了丹麦，就像前一年一样。这两个人每天都把解决黎曼假设放在议事日程的首位，但他们不可能每次都解决这个问题。

一年夏末，哈迪不得不乘船穿越北海回到英国。大海波涛汹涌，天气非常糟糕，船又很小，所以他在船离开前给波尔写了一张明信片。他只是在上面写了下面的话:“我已经证明了黎曼假设。哈迪，”

他真的证明了他想告诉他的好朋友这个好消息吗？原来这张明信片有一个目的:万一船沉了，哈迪淹死了，世界会认为哈迪真的解决了世界上的数学问题，并为这个解决方案和哈迪一起被埋在海底而感到遗憾。然而，由于上帝是哈迪的敌人，哈迪肯定不会享有解决这个著名问题的声誉。因此，这艘船应该已经沉没了，而且它还试图阻止它沉没，这样哈迪就可以安全返回英国。所以这张明信片是他救命的护身符。

你可能会嘲笑它，认为我们的哈迪教授是一个如此天真和可笑的人。是的，一些数学家在思考和做事情时像6岁的孩子一样天真。然而，他们研究的东西既深又深，超出了普通人的理解。哈迪去世已经有40多年了，但他留下的许多工作是如此的困难和难以理解，普通的大学数学毕业生也不容易理解。

这个结果非常漂亮。

死于贫困和疾病的有才华的人

中国古人曾说“人穷，但努力工作”。我们的黎曼也能证明这种说法的正确性。

100多年前，在德国的大学里，只有正式的教授才接受*补贴，并提供正式的课程，学生支付的学费可以从这些课程中收取。黎曼于1854年成为科廷根大学的私人讲师。他可以开始上课，但是学生学不了多少数学，他也没有得到任何*补贴，所以他的生活非常贫困。他的父亲是一个小村庄的贫困牧师，不可能在经济上帮助他。尽管他经常因为贫困而生病，但他仍然顽强地学习数学，并且因为健康和经济原因，他对研究的兴趣没有动摇。

他的老师高斯于1855年去世，狄利克雷接替了高斯。狄利克雷非常重视黎曼的工作，并尽力从*获得一些补贴。最后，他得到了全职教授工资补贴的十分之一。这稍微改善了黎曼的生活。

在此期间，黎曼在复变函数理论方面有许多重要发现。照顾他的狄利克雷于1859年去世，他的职位由黎曼继承。此时，他的经济稍有好转，但由于长期营养不良和过度劳累，他的健康受到了损害。

1862年，他娶了一个朋友的妹妹，第二年生了一个女儿。然而，肺病侵犯了他的生命，他于1866年7月20日在意大利马焦雷湖的塞拉斯卡去世。在他去世之前，他在工作中是乐观和勇敢的。

现在在大学课程中，复变函数论的基本定理，分析科学中的黎曼积分！黎曼曲面的概念是他的重要发现。他对物理学也很感兴趣，写了一些关于热、电、磁和流体力学的论文。

他对数学的影响是无法估量的。想了解他的作品的读者可以看看多佛出版社1953年出版的《波恩哈德·黎曼全集》。

近年来黎曼假设的研究

三位荷兰数学家，范·德·伦恩，h·j·里埃莱特和D·t·温特，用电子计算机来检验黎曼的假设。他们对前两亿个zeta函数的零点测试证明了黎曼的假设是正确的。他们在1981年宣布了他们的结果。目前，他们继续使用电子计算机来测试一些较低的零点。

1982年11月，苏联数学家马蒂·耶希维奇在苏联杂志《基本内蒂卡》上宣布，他可以用计算机证明一个与黎曼猜想有关的数学问题是正确的，而计算机又可以支持黎曼猜想。

1974年，麻省理工学院的莱文森在死于癌症之前证明了这一点。

190年，中国数学家楼和稍微改进了莱文森的工作。他们证明一氧化氮> 0.35牛顿。