《啊哈!灵机一动》－恼人的花砖

奇偶校验检查

布朗先生的女儿通过使用所谓的“奇偶校验”解决了铺路砖的问题。如果两个数字都是奇数或偶数，则称之为奇偶性。如果一个是奇数，另一个是偶数，这叫做相对奇偶性。在组合几何中经常遇到同样的情况。

在这个问题中，两个相同颜色的块是相同的奇偶性，两个不同颜色的块是相对奇偶性。显然，一个长方形的砖块只覆盖了一对相对的偶数和奇数的正方形砖块。这个女孩向我们展示了当19块矩形砖块被铺设时，剩下的两块只能被矩形砖块覆盖，如果它们是相对偶数和奇数的话。由于剩下的两块必须是偶数和奇数，它们不能被长方形的砖覆盖，所以不可能在院子里铺长方形的砖。

数学中许多不可能的证明也依赖于奇偶性。你熟悉的著名欧几里德证明了2的平方根不能是有理数。首先假设根可以用最简单的有理数来表示，分子和分母不能都是偶数，否则有理数不是最简单的形式。因此，它们只能是奇数，或者一个是奇数，另一个是偶数。欧几里德的证明表明这个分数既不是奇数也不是偶数。每个有理数都应该是两个中的一个，所以2的平方根不是有理数。

如果不应用奇偶校验，很难证明铺砖是不可能的。这个问题特别简单，因为它包括了最简单的多米诺骨牌。女孩的不可能性证明了它可以应用于任何由单位块组成的矩阵。当矩阵是棋盘色时，一种颜色的单位块至少比另一种颜色的单位块多一个。

在我们的问题中，庭院可以被视为一个6×7的矩阵，缺少两个相同颜色的块。显然，剩下的40块不能被20个“多米诺骨牌”覆盖。一个有趣的相关问题是:如果2个被移除的是不同的颜色，20个“多米诺骨牌”能被覆盖吗？均等不能证明它的不可能性，但这并不意味着这种可能性永远存在。毫无疑问，有必要移动不同颜色的块对来检查每个可能的模式，这需要分析太多可能的情况。有什么简单的可能性可以证明吗？

是的。它简洁而巧妙。它是由拉尔夫组成的吗？戈莫里的灵感。假设在6×7的小宽度矩形中有一条闭合路径，如图5所示。现在移除路径中任何两个不同颜色的小块，将路径分成两部分，每个部分包含偶数个相同颜色的小单元，显然这个部分可以被“多米诺骨牌”覆盖，所以这个问题总是可以解决的。你可能想把这种巧妙的证明应用于任何大小和形状的矩阵，并且不需要两个以上的小块。

“铺路砖”理论是一个有趣的大面积组合几何。铺砌的区域可以是任何形状——有限的或无限的，砖块的形状也可以改变。问题中砖块的形状可能不一样，也不可能证明通常使用两种以上的颜色来标记特定的区域。

三维多米诺骨牌是1×2×4块。一个4×4×4的盒子可以很容易地装满这样的块，但是一个6×6×6的盒子可以装满这样的块吗？布朗先生的庭院问题也回答了这个问题。如果你把这个立方体分成27个小立方体，每一个都是2×2×2，并用黑白标记这些2度立方体，你会发现一种颜色比另一种颜色多8个立方体。无论一个块如何与这种颜色的小块堆叠，它总是占据相同数量的黑色和白色块。然而，由于一种颜色的块比另一种颜色的块多8立方米，无论前26个块如何放置，总会剩下8立方米相同颜色的块，因此它们不能被块27覆盖。通过详细检查每一种可能的装配方法来证明它们的不可能性是极其困难的。

块体组装理论只是三维空间堆积理论的一部分。关于空间组装的话题，虽然还有许多未解决的问题，但已经产生了大量的论文。许多问题已经应用于货物的包装和货物在仓库中的存储。

宇称在核物理中起着重要的作用。1957年，两位华裔美国物理学家获得了诺贝尔奖，因为他们的工作推翻了著名的奇偶守恒定律。由于它的科学技术水平高，这里不介绍它。但是这里有一个简单的硬币戏法来说明奇数和偶数的守恒。

把一把硬币扔在桌子上，然后数数前面的硬币。如果是偶数，我们说前面有偶数。如果是奇数，我们说前面是奇数。然后翻转一对硬币，另一对，另一对，随意选择。你可以发现不管翻转多少对，前线的奇偶性都是守恒的。如果开始是奇怪的，结束是奇怪的；如果它以一个偶数开始，它以一个偶数结束。

这是这个聪明的小把戏的基础。你转过身，让一个人成对地随意扔硬币，然后让他用手盖住任何硬币。你转过身来，看着这些硬币，你可以准确地告诉他他的硬币是正的还是负的。秘诀是先计算阳性的数量，然后写下来。不管正面的数量是偶数还是奇数，因为对的翻转不影响奇偶校验，你只需要检查末尾的正面数量就知道隐藏的硬币是正面还是背面。

作为推广，你也可以要求某人用手盖住两枚硬币。你可以分辨出被覆盖的硬币是同一边的还是相反的。从这种奇偶校验中可以推导出许多开牌技巧。