到N维去

我们可以轻松地处理三维问题，如果有必要，我们也可以处理四维问题。我们可以很容易地接受一个立体的、无限空间的世界。添加第四维后，情况变得有点复杂。然而，当我们开始或多或少地研究这个世界时，情况变得非常复杂。

尽管这些美妙的世界有点令人头痛，但它们确实很重要。例如，弦理论，作为我们最有希望的万物理论的候选者，在10维以下的时间和空间中没有任何意义。再举一个例子，固体的一些奇怪但有用的性质，如超导性，需要用二维、一维甚至零维理论来解释。好的，请做好准备，现在我们将从最难的部分开始来解释维度:维度是什么？为什么要这样定义？它有哪些应用？在这个过程中，你不应该生气或分心。

维度是什么？

你可能认为我们对这样一个基本问题有一个简单的答案，但不幸的是没有。事实证明，仅仅定义维度是一个非常困难的问题。

对维度最直观、最古老的描述是，系统所拥有的维度是一个物体可以移动的独立方向的数量。顶部和底部只被认为是一维的，因为顶部和底部是同一枚硬币的两面，向上走离底部很远。左和右、前和后也是如此，但是上和右、下和后之间没有这种关系。因此，古希腊几何学家说:我们生活在一个三维的世界里。

现在一切仍然很简单，但是事情很快就会失去控制。我们需要空间和时间来定义我们在宇宙中的位置。早在18世纪末，法国人达朗贝尔和拉格朗日就发现，用来描述时间的数学语言与用来描述空间的语言非常相似。因此，当时的数学家很快得出结论，时间是第四维度。

这打开了思想之门，并将时间视为第四维度。这种新的理解远远超出了它最初的定义，并且极大地扩展了维度的概念。从那时起，维度不再仅仅是物理空间坐标的描述，它被用作描述决定任何物体状态的独立坐标或变量的通用术语。

这项技能真的很聪明。从现在开始，数学家们可以把几何分析作为一种锐利的工具来处理他们想研究的几乎任何事情。例如，经济学家现在可能会把整个经济活动视为一个巨大的多维对象。馒头或酱油价格的涨跌可以描述为多维空间中价格坐标的移动，这与我们在前后或上下方向的移动完全相似。当然，这只是描述经济状况的数百万个维度中的两个。

理解维度

请首先把这句话末尾的句号画成实线，然后盯着它看。祝贺你，你已经见证了零维空间。现在沿着纸的边缘移动你的手指，把这一页看做一张纸。这分别是一维和二维空间，很容易吗？但是现在，试着想象不止三维空间。

头疼吗？别担心，很多人都像你一样。“就我个人而言，我不能想象更多的三维空间，”伦敦帝国理工学院的弦理论学家迈克尔·达夫说，他的工作经常涉及处理10-D或1D物体。通过这个诚实的回答，为什么理论物理学家仍然对他们的理论有信心？

17世纪法国数学家笛卡尔为他们解决了这个问题。他把真实的几何空间转换成抽象的代数方程。例如，给定一个具有一定长度的线段，一端是固定的，另一端在二维空间中旋转，然后可以写一个方程，描述线段旋转时x坐标和y坐标之间的关系，这是圆的代数表达式。

这种想法真的很强大。从现在开始，只有通过引入更多的坐标，维度才能增加到你想要的程度。例如，通过引入新的坐标Z，我们可以用X和Y坐标满足刚才方程的方法来描述一个三维球，来描述一个二维圆。

那么，你为什么不从现在开始写下四维、五维或六维的“超空间”方程呢？最后，在1854年，德国数学家黎曼成为第一个吃螃蟹的人，将三维几何扩展到任何维度。这个多维方程并不重要。普林斯顿高等研究所的弦理论学家怀特顿说:“结果不难处理。”

从数学上来说，这是真的，但是我们总是好奇那些高维物体到底是什么样子的。纽约大学的物理学家吉娅·德瓦利认为这实际上无关紧要，只要你能在脑海中想出一些有用的图像。他说:“通过图像和动画，等式的本质可以很容易地在大脑中被记住。”对他来说，牛顿引力定律的形象是:质量物体产生的引力场的力线向四面八方无限延伸。不管你想象多少个维度，这个图像都是同样有效的。德瓦利承认:“虽然这个物理图像与实际的额外维度空间无关，但它让我们可以很容易地将定律延伸到高维空间。”

零尺寸-在点处

零维的东西，呃，像皇帝的新衣服存在吗？事实上，这种说法非常矛盾。因为没有维度就没有任何空间，所以零维度就毫无意义。你确定吗？

不一定。物理学中一些最热的物体是称为量子点的零维半导体结构。它可以是从纳米到微米的任何东西。虽然它的物理尺寸不是零，但电子在里面密集堆积，没有*尺寸。

荷兰代尔夫特大学的利奥·考文霍文说:“这是一个零维电荷陷阱。”以这种方式束缚的电子以一种非常特殊的方式运行，这带来了一些极其有用的特性。

首先，因为束缚在量子点中的电子不能移动，所以输入到量子点中的任何能量都不能用来干扰其中的电子，而只能以光的形式释放出来，这使得量子点有望被制成高效率和低功率的光源。因为它们很小，所以这些量子点也可以用作荧光标记来识别生物分子，如抗体，以跟踪它们在生物体内的生化过程。

Kouwenhoven承认量子点的应用还很遥远。他说，首先，我们必须使用无毒材料来制造量子点。他自己的研究专注于另一个潜在的应用热点。因为量子点上捕获的每个受激电子都会准确地产生一个光子，所以信息可以在光子和电子之间可靠地来回传输，这使得量子点成为第一代量子计算机上控制和存储数据的合适介质。量子计算机惊人地强大。如果我们能建造一台足够大的量子计算机，它肯定会改变我们处理信息的方式。

Kouwenhoven说:“也许几年后我们会有一个使用量子点工作的原型。至于商业应用，可能需要十年左右。”这是不是有点令人鼓舞？似乎从“无”中“有”并非完全不可能。

一维-沿着直线

一维物理学开始看起来有点熟悉了。一维只是一条直线，这是牛顿运动定律等经典物理定律发挥作用的理想环境。

然而，正是在量子物理学中，古老的一维世界开始焕发出活力。瑞士日内瓦大学的一维材料专家蒂埃里·贾马奇说:“在一维世界中，你可以得到在其他任何维度都找不到的新奇效果。”

例如，电子的行为，在正常情况下，它们尽力避免同类，但当被困在只能来回移动的一维通道中时，它们开始相互作用，整体像电子一样移动。在适当的条件下，电子的特性会发生变化:一个被俘获的电子可以表现得像两个粒子，一个带电荷，另一个带自旋。贾马尔基说:“这种现象在一维世界中很常见。”

电子的这些特性不仅具有理论意义。随着电子元件变得越来越小，一维物理效应变得越来越重要。我们可以根据需要将一维碳纳米管制成导体或半导体，这将是下一代计算机芯片制造业的一个热点领域。

一维分形景观

我们生活在一个三维的世界里，它的边界是一个二维的表面，而二维表面的边界是一条一维的线。这是一个舒适、易于理解的整数维世界。

真的是这样吗？数学家孟德伯罗在他1982年的著作《自然的分形几何》中指出，云不是球形的，峰不是圆锥形的，海岸线也不是圆形的。现实世界的维度实际上不是一个简单的整数维度。

如果你想画出美丽的雪花外围线条，你放大得越多，你会发现自己面对的形状越复杂，你画得越近，线条就会画得越长。你仍然在画一条线，但它比直线有更多的折叠。一条线，不管它弯曲多少，仍然是一维物体，不是吗？

这不是真的。欢迎来到分形维数:熟悉的一维、二维和三维世界之间的不规则维数。分形维数不同于人们熟悉的左和右、前和后、上和下的维数。它们密切相关:当你在一个较小的尺度上观察和测量一个复杂物体的细节时，它们描述了这个物体占据了多少额外的空间。(见图表)

不仅是雪花，许多自然物体的形状也是分形的:河流网络、树枝闪电、云团、花椰菜。你甚至可以声称自己生活在分形景观中，这在一定程度上取决于你在世界上的位置。例如，英国崎岖海岸线的长度根据测量精度是标尺还是卡尺等级显示出剧烈的变化，并且其分形维数被计算为大约1.25。然而，平滑的南非只是比分形维数为1.02的直线略粗糙一点。

平面乡村的二维景观

英国曼彻斯特大学的安德烈·海姆说:“二维非常好。”一个维度太简单，难以满足，而三个维度又太复杂和混乱。二维的“平坦的国家”恰到好处，它的空间只允许有趣和有用的东西出现。海姆说:“作为一名物理学家，你想生活在这个维度上。”

他当然会这么说。Geim的团队在2004年制造了第一种二维材料石墨烯。这种厚度只有一个碳原子的二维碳片可以让电子几乎不受阻碍地传输，因此该材料具有很大的应用前景。如果未来的计算机导线由一维纳米管制成，石墨烯将是制造电路板的理想材料。

二维世界的好处不止于此。另一个例子是高温超导体。我们早就知道超导体存在于130K左右，但我们对它们的物理机制知之甚少。经过20年的艰苦研究，我们只知道超导性可能起源于电荷相互作用形成的二维空间。

将时间视为第四维是爱因斯坦理论的精髓。德国数学家卡鲁扎做了一个更宏伟的设计。1919年，他给爱因斯坦发了一篇文章，他在文章中认为，通过将第五维度加入空间和时间，电磁力和万有引力可以被描述为力的两个不同方面。

几年后，瑞典数学家克莱因将卡鲁扎的想法向前推进了一步。显然，我们在日常生活中只看到四维时空。克莱因的解释是，第五维度非常小，可能存在于四维时空的每一点。因此，他提出了这样一个观点，即物理学寻求超空间隐藏的额外维度中的力的统一，这个观点一直延续到今天的弦理论。

然而，也许第五维度并不像克莱因想象的那么小。1999年，哈佛大学的物理学家丽莎·蓝道尔和约翰·霍普金斯大学的拉曼·桑德勒姆用弦理论分析了高维空间的性质。他们发现，通过引入巨大的第五维度，他们可以解决一个一直困扰物理世界的难题:为什么万有引力比其他力弱？他们的模型认为，我们熟悉的四维时空漂浮在无限的负曲率五维时空中。电磁力和核力被限制在四维空间，而万有引力可以渗透到第五维度，所以在我们看来，引力比电磁力和核力弱得多。

与此同时，加拿大安大略省滑铁卢大学的保罗·威森认为，五维时空是存在的，其中四维是我们生活的时空，而五维对四维时空的影响是产生许多具有质量的超维粒子。这个方案可以解释一个长期困扰粒子物理学的难题:质量是如何产生的，它相信粒子的质量有几何起源。与此同时，这一理论还解决了大爆炸的奇点问题:在大爆炸开始时，宇宙处于无限高温和密度的状态(注意:这一断言不是公认的结果)，在这种状态下，物理学的基本定律被宣布无效。从五维宇宙的角度来看，大爆炸只是一种幻觉，所以不存在这样的问题。

五维空间的存在带来了一些更微妙的结果。1997年，理论物理学家胡安·马尔达西那提出了一个猜想，即一些具有五个扩展维度并包含重力的弦理论等价于四维非引力量子场论。后者可以被视为前者的全息投影，它使我们的日常世界像从宇宙边界投影一样空灵。

听起来很神秘，但在许多领域，这种高-低维理论的等价性已经成功地应用于计算难题，如高温超导物理学。在马尔代纳的形象中，四维理论并不比五维理论更真实地描述世界。这样，对于“宇宙有多少个维度？”这个问题就没有单一的答案了

六个维度-两次

当物理学家提出涉及更多维度的宇宙理论时，他们通常只意味着空间是高维的，而不是多维的时间。

这也是众所周知的:如果时间是多维的，那么物体可以沿着高维时间坐标中的循环移动，也就是说，高维时间允许物体在我们的一维时间中的任意两点之间*移动，从而违反了光速的上限并允许我们在时间中行进，这与我们当前对宇宙的观察是不一致的。

然而，到1995年，洛杉矶南加州大学的伊扎克·巴尔斯通过M理论巧妙地为高维时间的存在构建了一个理论框架。该理论允许第二时间维度的存在，而不违反光速和时间旅行。这个模型可以解决一些粒子物理标准模型无法解决的问题。(注:M理论是弦理论的延伸。这个理论的目标是成为万物理论，一个可以解释所有相互作用的物理理论。它试图统一四种基本的相互作用——电磁力、重力、强力和弱力。它还试图将目前所有的五个超弦理论与11维超重力理论结合起来。为了充分理解它，爱德华·威滕认为需要发明新的数学工具。m理论中的“m”包含许多含义，如魔法、神秘、膜或矩阵等。

然而，这里有一个陷阱:如果要建立这个高维时间理论，同时必须有一个额外的空间维度。因此，在巴尔构建的模型中，宇宙有6个维度(4+2)。这个宇宙中的事物与我们所熟悉的四维宇宙中的事物非常相似。唯一的区别是，在6维世界中，描述物质组成和相互作用的理论是6维标准模型。当这个高维模型被投影到4维时，将会产生许多不同的4维版本，每个版本描述一个不同的4维宇宙。

八个维度——冲浪天堂

八个维度是八个元素的数字可以自然存在的空间。八美元是一个非常奇怪的数学结构。正如加州大学河滨分校的数学家约翰·贝斯所说，“人们总是把疯子叔叔锁在阁楼里。”

八进制数是唯一能执行除法运算的四种数字系统之一(注:实数、复数、4元数和8元数)。它可以允许所有的代数运算。然而，八进制数的运算模式是复杂和异常的，不同于我们所熟悉的任何传统的数字系统，如下图所示:

为什么要把八元引入物理？这是因为它是一些物理问题中非常有用的工具。由八个元素组成的矩阵可以形成一个称为E8特殊李群的复杂数学结构，这是一些弦理论的核心内容。

2007年，E8集团成为热门话题。物理学家加勒特·利西在没有使用弦理论的情况下，构建了统一重力和其他三种相互作用力的统一理论。他的理论是基于E8集团的结构。李斯本人没有大学职位。他花很多时间在夏威夷冲浪。对他工作的报道激怒了一些人，比如伦敦帝国大学的米阿切尔·达夫。他说:“弦论者从20世纪70年代末就开始研究E8。我们不需要冲浪者告诉我们这很有趣。”(注:李斯本人有很好的数字顺序基础，但物理很差。他的理论在物理学上完全站不住脚。这只是一个计算相对正确的数学练习。)

达夫本人对八美元的价值持不可知论的态度，指出所有这样提出的理论都没有经过实验的检验。他说:“没人知道这八块钱是否和现实世界有关。”

十个维度——弦理论的世界

"也许物理学家从更高维度带回的最惊人的想法是，所有可能的宇宙都存在。"

十个维度，我们终于踏上了弦理论的神秘土地。忽略所有反对弦理论的苛刻言辞，弦理论仍然是试图统一量子力学和广义相对论的最热门理论，也是“万物理论”最热门的候选理论。该理论认为构成物质的粒子和传递相互作用力的粒子都是由弦组成的，弦的不同振动模式对应不同的粒子。弦是一维的，但它在由一维时间和9维空间组成的10维时空中振动。

为什么是10维的？总之，因为这个理论不能在更小的维度上工作。正如物理学家米歇尔·格林和约翰·施瓦兹在1984年指出的那样，在一个更小的维度上，在小至10-35米的普朗克尺度上，数学异常将导致空间和时间的剧烈量子波动。这种量子效应会破坏理论的对称性，从而使理论不再自洽。

这并不意味着10是一个神奇的数字。一个过时的早期实际缠绕理论有26个维度。目前，有五个完整的自洽的10维弦理论，可以解释我们宇宙的存在。没有一种理论比其他理论更正确。这些不同的理论可以统一成一个更大的理论——11维M理论。这五种弦理论在某些情况下只是M理论的特例。

m理论认为，这些额外的维度非常小，而且高度卷曲，它们的维度非常小，用现有的方法无法观察到。然而，这些高维空间中旋度的形式是特定的。关键是存在无限可能的存在形式。如何找到产生我们宇宙的高维空间的存在形式仍然是一个问题。伦敦帝国理工学院的迈克尔·达夫说:“这将理论物理学家分为两组。”那些认为我们将最终解决这个问题的人正面临着越来越多的支持“多元宇宙论”的反对。因为，既然M理论允许无限多个可能的宇宙存在，并且没有物理原理来解释我们为什么存在于我们的宇宙中，我们是否应该接受人类选择的原则，并且承认我们观察今天的宇宙仅仅是因为我们碰巧生活在这样一个宇宙中？也许所有可能的宇宙实际上都存在。这是物理学家在探索高维空间后得出的最令人震惊的结论。