机会限制模型
机会限制模型最早由Charnes和Kirby提出。在他们的论文里，将未来的存款与贷款支出看作是联合分布的随机变量，以资本充足率公式作为机会限制。该模型的缺点是，违背约束的情况并没有根据其数量给予惩罚。Charnes等将该方法应用于资产负债表的管理，另外两篇文章用该模型对保险公司的资产组合进行分析。
1、理论概述
Dert在指定收益年金领域将该模型发展为多阶段机会限制模型(Multistagechance-constrainedALMmodel)，与Charnes和Kirby不同的是，该作者以场景模拟不确定性而不是作分布假设。以该模型为例，该这个模型的目标函数是，在失去偿付能力的风险水平可以接受、确保及时支付指定收益的能力的稳定性的限制下实现筹资成本最小。其中偿付能力要求为基金剩余负债与相应偿付能力比率的乘积(即下述模型限制7)，资产价值低于要求的水平通过场景设定模拟(限制8、9、10)。
2、模型内容
整个模型如下：
目标：
限制：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
其中：
为时间段;
为设定的状态;
为资产类别;
α：预定投资水平;
βt：时刻t每阶段作为工资成本部分的缴费的最大上涨幅度;
γts：状态s下时间t的现金流量折扣因子;
lts：状态s下时间t时基金的收益支付和成本;
Lts：状态s时间t时的精算准备金(actuarialreserve);
λ：对补救缴费进行惩罚的惩罚参数;
rits：状态s时间t时投资在类资产的连续回报;
Mts：状态s时间t时的大的常量;
Wts：状态s下t时段的工资成本;
Ats：状态s时间t时在接收到缴费及作收益支付前时的资产价值;
fts：二项分布变量，表示状态s时间t时是否需要补救的缴费;
Ψts：给定状态s和时间t时在时间t+1时资金不足的概率;
Xits：状态s时间t时投资在资产i上的总金额;
xits：状态s时间t时投资在资产i上的比例;
Yts：状态s下t时段的正常缴费;
yts：状态s下时段t的正常缴费占工资成本的比例;
Zts：状态s时间t时的补救缴费。
开始三个限制条件分别限制了正常缴费量、占工资成本的比例及其最大上涨幅度。在收到正常缴费及做出收益支付后，资产价值由(4)式重新分配，(5)式给出了重新分配资产组合的上下界。通货膨胀、工资水平的上涨及资产回报的场景由向量自回归模型模拟给出，其特征以马尔可夫链模拟。