欧几里得公理与公设
欧几里德，古希腊三大数学家之一，写下了不朽的《几何元素》，做出了最大的贡献。长期以来，数学家们对这本书评价很高，因为这是数学第一次以公理的形式表达出来。
所谓公理或公设指的是一门学科中不需要证明但必须承认的某些陈述或命题，即“不言而喻”的命题。如果一门学科以公理的形式表达，它的所有命题都可以从这些公理或公设中逻辑地推导出来。如果我们把一个学科比作一个建筑，那么这个学科的公理或公共机构就像是建筑的基础，整个建筑必须建立在它上面。
“原始几何”的影响非常深远。它已经成为数学证明的模型。它建立的公理化方法已经渗透到今天数学的几乎每个领域。在这本书里，欧几里德仔细地选择了五公里和五个公设，然后在此基础上一步一步地推导出几何学中的其他命题。
然而，后来人们在研究“几何”的过程中，欧几里德的第五个公设引起了人们的注意，这个公设是:
如果同一平面上的一条直线与其他两条直线相交，并且同一侧的两个内角之和小于两个直角，则两条直线在无限延伸时将在该侧相交。
与其他四篇文章相比，这一公共条款叙述复杂，根本没有“不言自明”的特点。事实上，它是“原始几何”中命题17的逆命题。与其说它是一个假设，不如说它更像一个定理。欧几里德本人似乎在试图避免使用这个假设，直到29号命题的证明。结果，数学家开始猜测，这个假设真的有必要吗？它能从其他九个公理和公设中推导出来吗？为此，数学家已经忙碌了2000多年了！在这个过程中，人们发现了这个公设的许多等价命题。例如，我们在中学课本中所知道的是“一个已知的点可以超过一条直线，并且只有一条直线可以平行于一条已知的直线”，“任何三角形的内角之和是两个直角”等等。然而，人们未能证明第五个假设。人们给出的许多“证明”已经被发明出来，这就隐含地承认了它的一些等价命题。
尽管人们的尝试失败了——结果是他们注定要失败，数学家们建立了两个全新的几何，即非欧洲几何！
建立非欧洲几何学的荣誉应该由高斯(1777 ~ 1855)、鲍耶(波尔约，1802~1860)和罗巴切夫斯基(洛巴切夫斯基，1792~1856)分享。然而，在介绍他们的工作之前，让我们先看看在这个领域做出努力和贡献的几位数学家。
首先，意大利耶稣会士和帕维亚大学教授塞开里(1667 ~ 1733)应该被提及。他研究了一个四边形ABCD(如图1所示)，其中∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角只有三种可能的大小:钝角、直角或锐角，萨塞里称之为钝角、锐角假设和锐角假设。他想证明钝角和锐角假设是错误的，所以剩下的直角假设相当于第五个假设！萨奇利的隐含假设是矛盾的，但对于锐角假设，逻辑事实使他陷入两难境地，最终迫使一个“矛盾”难以令人信服。如果他不急于陷入那样的所谓“矛盾”，而是大胆地承认他找不到矛盾，那么非欧洲几何的发现无疑应该归功于雪莉。非欧几里德几何触及了他的鼻尖，但他让它溜走了。
三十三年后，法国数学家兰伯特(1728 ~ 1777)也做了类似的研究，写了一本关于平行线的书。他研究的是一个有三个直角的四边形。他讨论了第四个角度的情况，也有三个相应的假设。他也默认了直线长度是无限的假设，并且否认了钝角假设，但是他注意到钝角假设的一些结论适用于球面图。在锐角假设问题上，他比皮萨什利走得更远。当他在锐角假设下得不到矛盾时，他并不轻易否认这个假设，而是推测由锐角假设推导出的几何图形可能在具有虚拟半径的球体上得到验证，他猜对了！
兰伯特是第一个怀疑第五公设的可证明性的人，但最终他没有打破他的前辈的框架，错过了非欧洲几何。
对此做出突出贡献的第三个人是法国著名数学家勒让德。他翻译了《几何原本》，写了《几何原理》，并给出了第五公设的许多“证明”。他考虑了三角形内角之和分别大于、小于和等于两个直角的三个假设，这与萨塞里的三个假设完全一致。他在锐角假设下也走了很长一段路，但他的最后证明也包含了第五公设的一个相当形式，非常隐蔽。
事实上，第五个假设是不可验证的，它独立于其他假设！基于锐角假设推导出的几何图形与基于直角假设推导出的几何图形是相同的，其本身并不矛盾。由于2000多年来传统偏见的束缚，实现这一点需要非凡的勇气和想象力。
高斯是第一个真正预见非欧洲几何的人。1816年前后，他对非欧洲几何有了清晰的理解。然而，高斯非常小心，因为害怕引起世俗的反对，所以没有发表任何关于这类话题的文章。我们知道他的思想只是通过他和他的好朋友之间的通信，对他人作品的一些评论，以及他死后从手稿中发现的一些笔记。尽管如此，他鼓励其他人在这个领域做研究，是他把这个几何称为非欧洲几何。
第二个预见到非欧洲几何的人是奥地利军队中的匈牙利军官叶宝。他的父亲叶福保是高斯的大学同学和朋友。老包也对第五公共设施感兴趣，并花了很多时间研究它。当他知道他的儿子也对它着迷时，他警告他不要花时间在它上面，因为它们可能会“吞噬一千个像牛顿一样的天才”但小宝野不听劝告，坚持自己的研究，说:“我想从头开始创造一个陌生的新世界。”1823年，小鲍耶基本上形成了自己的思想，但当他通过父亲写信给高斯征求意见时，高斯在回信中说，他不能赞扬鲍耶的工作，因为这样做就是赞扬他早年开始的工作。小宝野对此非常生气，认为高斯想抓住他的成就。最后，1832年，小宝野把他的研究成果写成一本小册子，作为他父亲半哲学著作的附录出版。
虽然承认高斯和鲍耶最先预言了非欧几里得几何的存在，事实上俄国数学家罗巴切夫斯基发表了关于这个主题的第一篇论文。
罗巴切夫斯基出生在喀山，大半辈子都在喀山大学度过。他先是成为一名学生，然后是一名数学教授，最后成为校长，并在晚年担任喀山教育区督学的助理。他大约在1816年开始研究第五公设。起初他也试图证明这一点，但后来他坚决放弃了尝试。他最早关于非欧洲几何的论文发表在1829年的《喀山公报》上，比鲍耶早2-3年。他将第五个公设改为“一条直线以外的点可以使两条直线平行于已知的直线”，同时保持其他公设不变。在此基础上，他构建了一套完全不同的、内部并不矛盾的几何学，后来被称为“罗·巴尔切夫斯基几何学”。他的作品起初没有引起注意，也没有得到学术界的支持，但他仍然坚持不懈，全心全意地完善自己的理论。
改变传统观念去接受一个全新的事物总是如此困难。罗巴切夫斯基和鲍耶的作品发表后，整个数学界花了几年的时间才更加关注他们的作品，花了几十年的时间才理解这一发现的真正含义！
后来，德国数学家黎曼(1826 ~ 1866)修正了第五公设，把球面上的大圆看作一条直线，那么这条直线是*的(或*点)，但它的长度是有限的。黎曼修改了其他几个公理以适应球体，并在球体上构造了一个几何，称为“黎曼几何”。它也是非欧几里得几何。人类生活在地球上，并认识到地球是圆的，有着悠久的历史，但直到黎曼发展了一种适用于球面的几何，这可能是一种异常现象。
非欧洲几何学的发现是几何学的解放，也是数学思想的解放。几何的公设只是数学的一个假设，并不是不证自明的。也可以说，在物理学中没有必要考虑它是对还是错。数学家可以选择公设，只要它们不互相矛盾。数学已经从绝对真理转变为人类思想的*创造，而不是被我们生活的世界所控制。正如康托所说:“数学的本质在于它的*！”