费尔马光行最速原理

费马不仅是一位数学家，而且在物理学方面也取得了一些成就。他发现了光速最快的原理。由此，我们可以解决以下问题:从光源A发射的光被平面镜MN反射，然后照射到点B以找到光通过的路径。解决方法:把甲的对称点设在甲的对称点上，在对称点上把甲和乙连接起来，然后光从甲发射到乙，反射到乙。这条路线是“最短路线”。事实上，对于除了锰上的磷以外的任何一点，都有磷。这条路线是最短的。

由此，我们可以得出物理学中的反射定律:当光被平面镜反射时，入射角等于反射角。在图1中，取点p处的正常PQ，有∠1=∠2。

在△ABC中，AD、BE和CF分别是三边的高度，△DEF称为△ABC的垂直脚三角形，这可以证明△ABC的重心h是△DEF的中心(图2)。

事实上，从∠ bea = ∠ BDA = 90可知，b、d、e和a是共圆的，所以∠CDE=∠BAC。类似地，从a，f，d，c是共圆的，我们可以看到∠BDF=∠BAC，所以∠CDE=∠BDF。因此，可以看出DA平分∠EDF。

类似地，FC平分∠DFE，EB平分∠DEF。所以h是△DEF的核心。

如果d作为AB的对称点D1，可以看出∠ DFB = ∠ d1fb = ∠ AFE，所以D1，f和e在一条直线上。类似地，可以看出，相对于交流的D对称点D2也在直线EF上，即D1、F、E和D2在同一条直线上。

现在，让我们来看看费耶罗提出的一个问题:在△ABC的每一边取点D，E，F，并且△DEF被称为△ABC的内接三角形。在锐角三角形的所有内接三角形中，找出周长最短的三角形。

费马提出了一个分为三个步骤的解决方案:

(1)设D为BC上的不动点，找出周长最短的内切三角形。

如果d是AB和AC的对称点D1和D2，如果D1和D2在e和f与AB和AC相交，则△DEF是需求。事实上，对于△ABC的任何内接△DE‘f’，都有

德′+英′法′+法′德= D1E′+英′法′+法′D2

≥D1D2=D1E+EF+FD2

=德国+法国+法国.

△DEF的周长≤△DEF的周长。

因此，我们只需要找出对应于BC上每个点D的最短周长的内接三角形DEF，并找出这些三角形中的最短周长。

(2)因为AD1=AD，AD2=AD，所以△AD1D2是等腰三角形。因为∠1=∠2和∠3=∠4，所以△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC是一个固定值。因此，只有当腰AD1最短时，D1D2才是最短的。此时广告一定是最短的。因此，当AD为△ABC的高度时，内切三角形DEF的周长最短。

(3)当AD为△ABC的高度时，从前三角形的垂直脚三角形的性质可以证明，在△ABC的内部三角形中，垂直脚三角形DEF的周长最短。

在平面几何中，还有一个“费马点”，叫做费马点。也就是说，在平面上找出△ABC所在的点，它到三个顶点的距离之和相等。

仅考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况。

以AB、BC和CA为边缘向外的形状，生成正三角形BCD、ACE和ABK，并生成这三个三角形的外切圆。让⊙ABK和⊙ACE有除A以外的交点作为F，从A、K、B和F的四个点可知⊙ AFB = 120。类似地∠ AFC = 120和∠ BFC = 120。因此,⊙BCD边与点f相交，即,⊙ABK、⊙BCD和⊙CAE共享点f

从∠ AFB = 120和∠ BFD = 60可知，A、F和D在一条直线上。

取FD上的点g，使FG=FB，那么△FBG是一个正三角形。由BG= BF，BD = BC，

对于平面上的任意点p，以BP为一边，HD为另一边，等于△PBH(如图4所示)也可以证明△ bhd ≌ bpc。因此，AP+PH+HD=PA+PB+PC。然而，PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。也就是说，点f是期望的点。这被称为△ABC的费马点。

如果△ABC的内角≥ 120，例如∠ a ≥ 120，那么点a就是所需的点。