数学中的皇冠——数论

自从人类学会了计数，他们就一直在处理自然数。后来，由于实践的需要，数字的概念被进一步扩展。自然数被称为正整数，它们的反数被称为负整数，介于正整数和负整数之间的中间数被称为0。它们统称为整数。

对于整数，可以执行四种运算:加法、减法、乘法和除法，这被称为四种运算。其中，加、减、乘三种运算可以在整数范围内无障碍地进行。换句话说，当两个或更多的整数相加、相减或相乘时，它们的和、差和积仍然是一个整数。然而，整数之间的除法可能无法在整数范围内不受阻碍地进行。

在整数运算的应用和研究中，人们逐渐熟悉了整数的特性。例如，整数可以分为两类——奇数和偶数(通常称为奇数和偶数)，等等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣而复杂的数学规律。正是这些性质的魅力吸引了许多数学家，让他们世世代代不断地研究和探索。

数论的学科始于对整数的研究，所以它被称为整数理论。后来，整数理论被进一步发展，这就是所谓的数论。具体来说，数论是一门研究整数性质的学科。

数论的发展

自古以来，数学家一直非常重视整数性质的研究，但直到19世纪，这些研究成果才被孤立地记录在各个时期的算术著作中，也就是说，还没有形成完整统一的学科。

自古以来，许多著名的数学著作都讨论过数论的内容，如求最大公约数的问题、勾股数组、某些不定方程的整数解等。在国外，古希腊数学家系统地研究了数论中最基本的问题之一可除性，并提出和应用了素数、和数、除数和倍数等一系列概念。后来各个时代的数学家也对整数性质的研究做出了巨大贡献，逐渐完善了数论的基本理论。

在对整数性质的研究中，人们发现素数是构成正整数的基本“材料”。为了进一步研究整数的性质，我们必须研究素数的性质。因此，数学家们一直在密切关注关于素数性质的问题。

到18世纪末，数学家们已经积累了大量关于整数性质的零散知识，将它们分类成一门系统学科的条件已经完全成熟。德国数学家高斯收集了他的前辈们的成就，并写了一本名为《算术讨论》的书，该书于1800年被送到法国科学院。然而，法国科学院拒绝了高斯的杰作，高斯不得不在1801年自己出版了这本书。这本书开启了现代数论的新时代。

在算术讨论中，高斯标准化了过去用来研究整数性质的符号，系统化和扩展了当时已有的定理，对要研究的问题和意志的方法进行了分类，并引入了新的方法。

数论的基本内容

数论形成独立学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。按照研究方法，可以分为四个部分:初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

初等数论是数论的一个分支，它不依赖于其他数学学科的帮助，只通过初等方法研究整数的性质。例如，中国古代著名的“中国剩余定理”是初等数论中一个非常重要的内容。

解析数论是利用数学分析作为工具来解决数论问题的一个分支。数学分析是一门以函数为研究对象的基于极限概念的数学学科。欧拉为通过数学分析解决数论问题奠定了基础。俄罗斯数学家切比雪夫和其他人也对它的发展做出了贡献。解析数论是解决数论难题的有力工具。例如，欧拉利用数学分析中关于无穷级数的一些知识，给出了“素数有无穷多个”命题的分析方法的证明。20世纪30年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性地提出了“三角求和法”，在解决数论中的一些难题上发挥了重要作用。中国数学家陈景润也用解析数论解决了“哥德巴赫猜想”问题。

代数数论是将整数的概念扩展到代数整数的一个分支。数学家将整数的概念扩展到一般代数数域，并相应地建立了素数和整除的概念。

德国数学家和物理学家闵可夫斯基等人开创并奠定了几何数论的基础。几何数论研究的基本对象是“空间网格”。什么是空间网格？在给定的直角坐标系中，坐标都是整数的点称为积分点。一组所有积分点称为空间网格。空间网格对几何和晶体学具有重要意义。由于几何数论所涉及的问题的复杂性，为了进行深入的研究，有必要有相当的数学基础。

数论是一门高度抽象的数学学科。长期以来，它的发展一直处于纯理论研究的状态。它对数学理论的发展起到了积极的作用。但是对大多数人来说，它实际上意味着什么还不清楚。

由于现代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。例如，初等数论的许多研究成果被广泛应用于计算方法、代数编码、组合理论等。文献中也有报道，现在一些国家用“孙子定理”来度量距离，用原始的根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多深刻研究成果也被应用于近似分析、差集、快速变换等领域。尤其是现在，随着计算机的发展，用离散量逼近连续量以达到所需的精度成为可能。

数论在数学中占有独特的地位。高斯曾经说过“数学是科学的女王，数论是数学的皇冠”。因此，数学家们喜欢把数论中一些突出而又困难的问题称为“皇冠上的珍珠”，以鼓励人们“挑选”。下面是一些“珍珠”:费马大定理，孪生素数问题，哥德巴赫猜想，圆的积分点问题，完全数问题...

在现代中国，数论也是最早的数学分支之一。20世纪30年代以来，他们在数论分析、刁泛度方程、均匀分布等方面做出了重要贡献。华、、闵四和、柯昭等一流数论专家相继问世。其中，华教授以研究三角学、估值学和积素数理论而闻名。自1949年以来，数论的研究得到了进一步发展。特别是对“筛选方法”和“哥德巴赫猜想”的研究取得了世界领先的杰出成果。

特别是1966年陈景润证明了“哥德巴赫猜想”中“一个大的偶数可以表示为一个素数和不超过两个素数的乘积”之后，在国际数学中引起了强烈的反响，称赞陈景润的论文是分析数学的杰作，是筛法的光辉顶点。到目前为止，这仍然是哥德巴赫猜想的最佳结果。