会通中西的历算家薛凤祚（中）

本文与《中国西历会计薛凤佐(上)》有关

在波兰传教士穆宁的帮助下，清初第一人薛凤祚于1644年完成了中国和西方历法研究的巨著《历学通》。这本书广泛使用了当时在西方科学中相当流行的对数。17世纪西方数学的三大成就——对数、微积分和解析几何——首次将对数引入中国。究其原因，穆尼亭对对数了解甚多，薛凤祚也深受影响。另一方面，使用对数可以节省时间，因此受到科学家的喜爱，尤其是清初的人们。对数的引入给沉寂了200-300年的中国数学注入了新鲜血液，激发了中国数学家的研究兴趣，为中西数学的融合做出了重要贡献。

对数的魅力是什么？薛凤佐为什么要努力学习对数？他对西方学习向东方数学的传播做出了什么贡献？......要揭示这些答案，就得从薛凤佐的南京之行开始。

中西朋友相聚南京

1652年春，薛凤祚从京城出发，到南京做兼职，从西方拜访他的老朋友穆尼亭。除了追述过去，他还想了解更多关于对数的知识，这是西方数学中流行的一个新事物。

任何学过高中数学的人现在都知道对数是指数的倒数。先学习指数，然后学习对数，就像先学习乘法，然后学习除法一样自然。例如，5的三次方是125，5的指数是3，数学公式是53 = 125；相反，125是5的三次方，125的对数是3，数学公式是log5(125)=3。然而，在清朝以前，西方科学界没有索引的概念。数学家发明对数是为了节省天文日历的计算时间。从未出过国的薛凤佐早就听说过对数，但不知道它的原理。当他听说穆尼亭带着关于对数的书籍回到中国时，他焦急地赶到南京。

指数与对数的关系(网络图)

薛凤佐的想法没有错。在南京传教士的住所，穆尼亭热情接待了这位才华横溢、彬彬有礼的中国老朋友。他首先向薛凤佐介绍了一部流行的西方专著《对数定律的精彩描述》，然后用实例讲述了对数的发明故事。"对数的发明是本世纪西方数学的杰作."穆尼亭解释道。

事实证明，50年前，西方自然科学家，尤其是天文学家，经常使用复杂而庞大的数值计算。这些复杂的操作或结果占用了他们大量的时间。例如，某两个行星之间的距离是几千亿米，这是数字相乘的结果。没有工具可以检查，只有一个接一个。经过20年的潜心研究，苏格兰数学家约翰·耐普尔终于找到了一个简单的算法来“计算一个大数乘以某个十进制数的倍数”，即对数。1614年6月，纳皮尔的数学专著《奇妙对数定律的解释》在爱丁堡出版。这本书很受西方科学家和传教士的欢迎。穆尼亭也带着它再次来到中国。

纳皮尔名著《对数奇妙定律的解释》(网络图)的影子

听完这个故事，薛凤佐立即表示，他在计算天文和历法时遇到了同样的问题。他确信对数将在数学甚至科学的未来发展中发挥更重要的作用。因此，他提出在中国推广对数的想法，希望得到王先生的帮助。穆尼戈欣然同意。

两年的辛勤工作编辑了两张表格

薛凤佐推广对数的第一项工作是翻译西方对数。对数表是一种数学工具，类似于1999年的乘法表。通过查询这个表，你可以很快知道一个数的对数是多少。“今天有一个对数表，保存乘法和除法，而条件是平方，立方，345和其他方法？他们都比原来的方法更强大，有十个省和六七个，他们没有灾难。”他记录了这种感觉，并准备将它选入翻译日志表的前言中。

当时，有许多西方学者研究对数和许多对数表。经过分析，薛凤佐决定主要翻译英国数学家布里格斯和沃拉克的对数，然后将其与我国传统的五舍六记法进行改编，制作成普通版的对数。

经过近两年的编纂，薛凤佐在穆的帮助下完成了两个对数表:比例对数表和四行对数表。比例对数表中只有一个体积，包括从1到10000的对数值。数值大部分是七位数，精确到一位数。“四线对数表”是一个关于四个常用三角函数的对数工具表。四条线是正弦、余弦、正切和余切。这张桌子的序言是由穆宁口述，薛凤佐书写的。主要介绍对数的定义和计算方法，以及如何用对数求平方、立方和四次方。正文部分列出了16，000多对常用的四线三角函数，所有这些函数都保留在小数点后的第一位。

“比例对数表”的书影(网络图)

通过这两个对数表，中国科学家可以很容易地解决倍数乘法等问题。特别是，比例对数表在当时受到人们的喜爱，因为它简单且易于查询。几年后，英国著名的科学史家李约瑟潜心研究了这一表，称之为“中国最早的对数表及其讨论”。

穆尼亭即将离开南京去其他地方传教。薛凤佐也带着书和快乐的心情在回家的路上。

重新创建通用对数表

薛凤佐回国后，再次学习了“比例对数表”和“四线对数表”。发现它们只是西方测井知识和测井工具表的翻译。在查询对数和一般应用中没有大问题，但是理解和方便地使用中西数学是极其困难的。经过反复思考，他决心将西方先进的数学方法与中国传统的数学知识结合起来，写一张新的对数表。

一年多以后，在1655年，薛凤佐完成了一本关于中国和西方之间的数学对数的新书——一种新的四行标尺。尽管该表只有一卷，但它包含了18，000多个对数值以及正弦、余弦、正切和余切的函数对值，所有这些值都是7到8位的精算值。表的序言以文字说明了薛凤佐的初衷:“对于对数的人来说，乘除之痛将转化为加减之痛，而加减之痛将作为日历，容易改正的人也将得救。这一计算经历了三次变化。它可以说是准确、详细和简单的。”

《四线新比例表》(网络图)

为了便于计算和应用，“四行比例新表”将西方常用的十六进制改为传统的100十进制。虽然过程相当复杂，但它充分反映了薛凤佐学习中西数学的努力。

从那以后，薛凤佐开始在各种场合使用对数和“四线比例新表”。在编写《雪梨通》的过程中，《四行比例新表》起了很大的作用。《雪梨通》中的知识几乎每一部分都涉及对数知识。在应用对数的同时，他也把西方的对数传播给同龄人和朋友，尤其是年轻人。在后继者中，颍川(今河南许昌)以向刘捷、公刘学派学习而闻名。

薛凤佐的努力没有白费。清朝初年，许多科学家高度赞扬“四线比例新表”，并将其纳入对数研究。钱塘数学家戴旭研究对数多年。他觉得当时西方通过的一万种计算对数的方法太复杂了，初学者无法掌握。因此，他对薛凤佐的作品进行了详细的研究，最终发明了许多快速的方法，并撰写了《对数简化》等书籍。

戴旭著《对数简化的阴影》(网络图)

薛凤佐完成《四行比例新表》时56岁，完成《历联通》时65岁。这应该是抚养一个年轻人和一个孙子的时代。然而，他总是期待一次长途旅行。相反，他收拾行李，跑上了水利管理和地理研究的道路。薛凤佐晚年还有什么贡献？后代如何评价他？请看《清初域人家庭薛凤佐》第二集。

[参考]

1.专著《领先的古代数学》，李慕南主编，中国环境科学出版社，2006年1月。

2.论文《薛凤佐科学思想研究》，《山东大学学报》，王学远主编。