刘徽创立的割圆术

刘辉创造的切片技术

圆周率是圆和球面数学分析中不可缺少的常数，各国古代科学家都把圆周率作为一个重要课题。我国首次采用的圆周率值为3，称为“直径三周”。《九章算术》使用了这些数据，《正方形区域》有这样一个问题:“今天有一个圆形区域，一周30步，直径10步。场的几何形状是什么？”显然，这个值不能满足精确计算的要求。汉代的一些数学家发现了这个问题，并在实际应用中使用了各种圆周率值。通过他们的努力，数值精度得到了提高，但大多数都是经验结果，缺乏理论基础。

圆周率计算的突破依赖于一种有效方法的诞生，即割线法。经过深入研究，刘辉发现，当圆内接的正多边形的边数无限增加时，多边形的周长可以无限接近圆的周长，从而创造了“割线圆技术”。

割线圆技术的主要内容如下:1 .圆内接正六边形，每边的长度等于半径；然后做一个正十二边形，从毕达哥拉斯定理开始，得到正十二边形的边长，依此类推。从内接N边的边长，我们可以推导出内接2n边的边长。第二，内接2n边形状的面积可以从圆内接n边形状的每条边的长度获得。如图所示，正十二边形(四边形OADB)的一部分面积等于正六边形的长度AB乘以半径od的一半。因此，即使具有非常多条边的内接正多边形的面积可以逐步求解。第三，圆的面积在两个可获得的值之间。

根据极限的概念，刘辉指出:随着圆内接的正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积，“切得很薄，损失的很少，切得也很少，所以它不能切，而且它与圆周吻合而不损失任何东西。”通过将这一极限思想与上述不等式相结合，pi的真值可以从两个方面来近似:不充分近似和通过增加多边形的边数来过度近似。这两个数据的准确性在当时是前所未有的。

与刘辉相似，古希腊的阿基米德也用正多边形方法计算圆周率。然而，阿基米德用反证法证明了这一结果，避开了极限的概念，而刘辉则大胆地运用了以直代曲、达到无穷的思维方法。此外，阿基米德法需要计算外切正多边形的面积，而刘辉法只需要计算内切正多边形的面积。与阿基米德相比，刘辉的切圆技术可谓事半功倍。