薛定谔方程，究竟神奇在哪里？

作者:玛丽安·弗莱堡

翻译:ignhysp

审校:努尔

教科书中有一个典型的问题:当你的车没油了，你需要多大的力才能把它加速到给定的速度？牛顿第二运动定律的答案是:F=ma，其中a是加速度，m是质量，F是力的大小。这个非常直接和微妙的定律可以描述各种运动。至少在理论上，它可以解决这个世界上所有的物理问题。

真的吗？当人们开始从一个非常小的尺度来思考世界时，例如，电子围绕原子核旋转，他们意识到一切都变得非常奇怪，牛顿定律似乎是无用的。为了描述这个微观世界，你需要使用20世纪早期发展起来的量子力学。这个理论的核心是薛定谔方程，它可以类比经典力学中的牛顿第二定律。

波和粒子

“在经典力学中，我们用位置和动量来描述物理系统的状态，”剑桥大学理论物理学家纳吉姆·布阿塔解释道。例如，你有一张桌子，许多台球可以在上面移动。只要你知道每个球在某个时间t的位置和动量(动量是质量乘以速度)，你就可以知道这个系统在这个时间t的所有信息:所有物体的运动状态和速度。“我们会问:如果我们知道系统的初始状态，也就是说，如果我们知道系统在时间t的状态，系统的状态将如何演变？我们可以用牛顿第二定律来解决这个问题。在量子力学中，如果你问同样的问题，答案是棘手的，因为位置和动量不再是描述系统的合适变量。

问题的关键在于，量子力学试图描述的物体及其行为不像一个小台球那么简单。有时最好把它想象成一个波浪。“以光为例。牛顿除了对引力的研究外，对光也很感兴趣布阿塔说，“根据牛顿的理论，光可以被描述为粒子。但是，根据许多其他科学家进行的研究，包括詹姆斯·克拉克·麦克斯韦提供的理论理解，我们发现光是由波描述的。”

但是在1905年，爱因斯坦意识到波的形象并不完全正确。为了解释光电效应，你需要把光束想象成粒子流，爱因斯坦称之为光子。光子的数量与光强成正比，每个光子的能量与频率成正比:

其中，是普朗克常数，一个非常小的常数，以马克斯·普朗克命名，他在1900年关于黑体辐射的工作中已经猜到了这个公式。“我们现在面临的问题是，描述光的正确方式是有时把它看作波，有时看作粒子，”布阿塔说。

爱因斯坦的结果可以与科学界的长期努力联系起来。克里斯蒂安·惠更斯在17世纪开始尝试它们，威廉·汉密尔顿在19世纪继续探索它们。他们都想把光的波动性和粒子性质统一起来。年轻的法国物理学家路易斯·维克托·德布罗意受到不同情况下光的特性的启发，在探索的旅程中迈出了令人兴奋的一步:他认为不仅光而且物质都具有这种特性，这种特性可以称为波粒二象性。物质的基本组成单位，如电子，在某些情况下也像粒子，在某些情况下像波。

路易·德布罗意)，1891987。

德布罗意1920年的观点与其说是基于实验证据的推测，不如说是受爱因斯坦相对论启发的理论飞跃。然而，科学家很快发现了相应的实验证据。20世纪20年代末，晶格散射粒子的实验证实了电子的“类波”性质。

证明波粒二象性的最著名的实验是双缝干涉实验。在这个实验中，电子(或其他粒子，如光子或中子)被发射并同时通过一个有两个狭缝的屏幕。在这个屏幕后面还有一个屏幕，可以用来检测电子通过狭缝后的最终位置。然而，你在检测屏幕上实际看到的是干涉模式:如果电子是波，你只会看到这种模式。波同时穿过两个狭缝，然后当它向一个方向传播时，它会与自身发生干涉。然而，在检测屏幕上，当它到达时，注意到电子处于粒子状态，这与我们的预期相同。事实上，这个看似奇怪的结果是一个实验性的事实，已经被重复了无数次——所以我们必须接受这个世界就是这样运转的。

双缝干涉实验:波通过缝隙的干涉模式

双缝干涉实验:当粒子从缝中射出时，预期的结果

双缝干涉实验:当粒子(如电子)通过缝隙时会发生什么:你会得到一个类似波的干涉图案，但电子以粒子的形式到达。

薛定谔方程

德布罗意提出的新形象需要新的物理学。与粒子相关的波的数学形式是什么？爱因斯坦将光子能量e与光波的频率f联系起来，我们通过公式知道频率与波长有关。这里c是光速。利用相对论的结果，我们可以把光子的能量和动量联系起来。综合以上结论，光子波长λ和动量p之间的关系可以给出如下:

其中h是普朗克常数。

基于此，德布罗意假设波长和动量之间的关系适用于任何粒子。此时，最好先放弃你的直觉，不要去想类波粒子到底是什么意思，而要遵循数学的逻辑。

在经典力学中，波(如声波和水波)随时间的演化可以用波动方程来描述:它是一个微分方程，其解是波函数，它可以给出在任何时候都符合适当边界条件的波形。

例如，假设波沿沿X方向延伸的弦传播，并在xy平面内振动。为了完整地描述这个波，你需要知道T弦在Y方向上在每个点x和每次的位移。根据牛顿第二运动定律，可以观察到下列波动方程:

v是波速。

上图是xy平面上弦振动的照片。这里的波可以用余弦函数来描述。

上述方程的一般解相当复杂，反映了弦可以以各种方式摆动的事实。你需要更多的信息(初始条件和边界条件)来找出它是什么样的运动。然而，作为一个例子，

该函数描述了在正x方向上以角频率ω传播的波，正如您所期望的，它是波动方程的一个可能的解。

薛定谔方程是以薛定谔的名字命名的，1881961。

同样，应该有一个波动方程来控制神秘物质波随时间的演化。它的解应该是一个波函数(不要认为它是一个实际的波)。这会告诉你量子系统的所有信息(例如，一个粒子在盒子里运动)。奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1926年提出了这个方程。对于在三维空间中运动的单个粒子，方程可以写成如下:

其中是粒子的势能，势能是x，y，z，t的函数，m是粒子的质量，h是普朗克常数。方程的解是波函数ψ(x，y，z，t)。

在某些情况下，势能不依赖于时间t。在这种情况下，我们通常通过考虑一个更简单的与时间无关的薛定谔方程来解决这个问题，其中ψ(x，y，z)只依赖于空间，这使得下面的关系成立:

其中是粒子的总能量。那么整个方程的解是:

这些方程可以应用于在三维空间中运动的单个粒子。对于含有任意粒子的系统，也有相应的方程来描述它们。如果波函数不是写成位置和时间的函数，人们也可以把它们变成动量和时间的函数。

进入不确定性

我们可以从一个简单的例子中求解薛定谔方程(例如单个粒子在无限势阱中移动)。它的解非常类似于描述波浪的数学方程。

这个解决方案到底意味着什么？它没有给出粒子在给定时刻的精确位置，也没有给出粒子随时间的轨迹。更具体地说，它可以在给定时间的所有可能位置(x，y，z)给你一个ψ(x，y，z，t)值。这个值是什么意思？1926年，物理学家梅克斯·玻恩提出了统计解释。他假设波函数绝对值的平方

将给出在时间t发现粒子的概率密度。换句话说，粒子在时间t出现在该区域的概率由以下积分给出:

这个概率图像与德布罗意关于粒子波长和动量之间关系的公式惊人地相关。海森堡在1927年发现，如果想要测量运动粒子的位置和动量，就有一个基本的精度极限。一方面，测量的准确度越高，人们在其他方面的发言权就越少。这不是指测量仪器的质量问题，而是指自然界固有的不确定性。这个结果现在被称为海森堡测不准原理，是量子力学中经常用来引用奇怪现象的几个结果之一。这意味着我们不能谈论量子力学中粒子的位置或轨道。

沃纳·海森堡)，1901976。

“如果我们相信不确定性图像，因为我们对‘此刻电子在哪里’之类的问题没有清晰的答案，换句话说，所有的量子态的数学表示和状态只能给我们概率结果，”布阿塔说。德布罗意、薛定谔和爱因斯坦试图提供一个真实的解释，比如光波在真空中传播。然而，仍然有一些物理学家，泡利，海森堡和玻尔，反对给出真实的图像。对他们来说，波函数只是计算概率的工具。”

它真的适用吗？

我们为什么要相信这个奇妙的想法？在这篇文章中，我们展示了薛定谔方程，就好像它是从空气中被拖出来的，但是它实际上是从哪里来的呢？著名的物理学家理查德·费曼认为这是一个毫无意义的问题:“我们从哪里得到这个方程？这不能从你所知道的任何知识中推断出来。它来自薛定谔的大脑。”

然而，这个等式经受住了迄今为止每一个实验的考验。“这是量子力学中最基本的方程，”布阿塔说。“这是我们想要描述的所有量子力学系统(例如，电子、质子、中子等)的起点。)这个方程成功地描述了早期氢原子的离散能谱，这有助于量子力学的建立，也是薛定谔的动机之一。根据欧内斯特·卢瑟福的原子模型，氢原子等原子发出的光的频率应该是连续的。然而，实验表明，它不会不断变化。氢原子只发出特定频率的光，当频率改变时会跳跃。这一发现与传统哲学智慧背道而驰，传统哲学智慧支持17世纪哲学家和数学家戈特弗里德·莱布尼茨的格言:“自然不会跳跃”。

1913年，尼尔斯.波尔提出了一个新的原子模型，其中电子被限制在特定的能级。薛定谔将他的方程应用于氢原子，发现他的解精确地重复了玻尔设定的能级。“这是一个令人兴奋的结果，也是薛定谔方程的第一个主要成就之一，”布阿塔说。

在众多成功实验的支持下，薛定谔方程已经成为量子力学中牛顿第二定律的模拟和替代。

资料来源:https://plus.maths.org/content/schrodinger-1