《啊哈!灵机一动》－巧切乳酪

如何用三把刀切割

罗杰小姐的想法是奶酪是一种圆柱形固体，可以从奶酪的半腰沿水平方向切成两半，如图1所示。根据图中虚线切割法，三把刀可以将奶酪分成八等份。这种切割方法的前提是每把刀不会相互影响，换句话说，每把先切好的刀都不能移动。另一种切割方法是一次切一把刀。当切割一把刀时，您可以移动切割的部分，并重新排列每个部分的相互位置。对于这个话题，这种切割方法也可以用三把刀将牛奶分成八等份。具体的切割方法是:先分成两部分，然后把两部分堆起来，切成四部分，再把四部分堆起来，切成八部分。

图1

罗杰小姐的想法很简单，甚至很普通。然而，随着她的思考，我们会突然意识到，我们可以用计算有限差分的方法来讨论切割问题，并用数学理论来证明它。有限差分计算是寻找数列通式的有力工具。在现实生活中，涉及数列的问题是触手可及的，而使用计算机来解决这些问题的速度非常快，因此这些问题正吸引着越来越多的人的极大兴趣。

罗杰小姐切割奶酪的最初想法是简单地垂直穿过奶酪顶面的中心。奶酪的顶面像薄饼一样平坦。那我们不妨试试，简单地切一个煎饼能得到一个什么样的序列。如果每把刀都穿过薄饼的中心，很明显最大切割数是2n。

切割n次后，由封闭曲线组成的平面图是否只能得到2n个块？否-如图2所示，这是一个容易绘制的非圆形图形。对于这个数字，你可以用一把刀切很多块。有没有可能画出这样一个图形，这样通过切割一把刀就可以得到一定数量的相同的零件？如果可能的话，它周围的环境有什么特点？如果每把刀的切割方法不同，切煎饼的问题就会复杂。你很快就会发现，当n=3时，结果超过了2n个。我们暂时不会考虑每个切割件的面积是否相等。图3显示了当n=1，2，3，4时可以获得的最大块数-2，4，7，11。

图3

这里，n代表切割的数量。从n=0开始，前十次切出的块数是1、2、4、7、l1、16、22、29、37、46...请注意，第一列中的差异是1、2、3、4、5、6、7、8、9...第二列的差值是1，1，1，1，1，1，1，1，1...从这里我们可以清楚地看到，序列的通项是切割数n的二次函数。

我们之所以说“显然”是因为通过有限差分计算得到的公式不能保证它对无穷级数同样有效，也就是说，科学证明是必不可少的。当然，用序列归纳法可以很容易地证明切煎饼的公式。

从一个例子到另一个例子，你可以举出许多类似的问题，其中一些导致有趣的序列，一般术语公式和它们的数学证明。这里我们不妨谈几个例子。在以下五种情况下，每种情况下可以获得多少份拷贝？

1.在锄头煎饼上切刀。

2.切割球体或圆柱体n次(允许水平切割)。

3.用圆形饼干切割机将薄煎饼切割n次。

4.将圆形煎饼(中间有一个圆孔)切n次。

5.将甜甜圈切割n次(允许水平切割)。

请根据上面提到的两种不同的切割方法来解决这些问题，看看答案是如何变化的。