《啊哈!灵机一动》－奇妙的路线

出发点

迪克赢不了，因为他不知道该遵循什么样的思路来找到起点。飞行员可以从南极附近的某一点出发，要求该点满足以下条件:向南飞行100公里后，再向东飞行100公里。他只会绕南极转两圈，而不是像刚才那样绕南极转一圈。然后他自然会再次向北飞回到起点。满足这一条件的起点形成了一个以南极为中心的新圆圈。同样，飞行员可以从较小圆圈上的一个点开始，只要它能满足飞机向东飞行时绕南极转三四圈的要求...任意正整数圈数。可以看出，满足条件的点形成一个无限系列的同心圆，南极是圆心，半径无限接近100公里。

下面是另一个导航问题，它涉及到一条奇妙的球面曲线，即所谓的“等倾曲线”或“等水平线”。假设一架飞机从赤道上的一个点出发，向东北方向飞行，那么它最后降落在哪里？它的路线有多长？这条路线的形状是什么？

你会惊讶地发现，飞机的航线是一条以恒定角度与地球子午线相交的螺旋曲线，它的最终着陆点是在北极。这条曲线是一个球形螺旋线，它必须绕北极旋转，它旋转得越多，它就变得越小，最后它在北极结束。把飞机当作一个移动点，人们甚至可以认为这个点绕北极转了无数圈，然后它经过的路线长度仍然是有限的和可计算的。因此，如果飞机以恒定的速度飞行，它最终会在一定时间内到达北极。

对于不同类型的地图，等倾线在地图上显示不同的形式。在著名的墨卡托世界地图上，它显示为一条直线。事实上，正是因为这个原因，墨卡托地图受到了航海家的青睐。如果一艘船或一架飞机在旅行时保持罗盘指针不变，那么它的路线在地图上显示为一条直线。

如果一架飞机从北极向西南飞行，会发生什么？这个问题和上面的问题可以说是互补的，因为它们的路径在形状上完全相同，但方向相反。但是有一点，我们不能确定这条曲线在赤道上的哪个点相交，或者它可能与赤道上的任何一点相交。这个结论可以得到证明，因为从赤道上的任何一点向相反的方向飞行都可以回到北极。当然，如果飞机从北极出发，穿过赤道后继续飞行，它最终会落到南极。

如果我们将等倾线投影到一个平行于赤道并与北极(或南极)相切的平面上，那么此时的投影线就是等倾线螺旋线，也称为对数螺旋线。这个螺旋线和半径之间的交角保持不变。

另一个众所周知的路线问题是四只乌龟的问题。它也包括对数螺线，但是有一个图像故事来介绍这种技术。

汤姆。皮沙训练了四只小海龟:安娜、博斯、查尔斯和蒂里拉，并依次给它们编号为A、B、C和D。有一天，他把四只小乌龟放在一个房间的四个角落里，这样一来，a总是向b所在的位置移动，b总是向c所在的位置移动。类似地，c将向d移动，d将向a移动。他邀请全家观看。

“非常有趣，我的儿子！”皮沙先生高兴地说，“每只乌龟都以同样的速度直爬到它前面的乌龟身上，然后他们四个人每时每刻都在一个正方形的角落里。”(如图9所示)

图9

“是的，爸爸。”汤姆说，“这个正方形一直在变，变得越来越小。看！他们很快就会聚集在中心！”

假设每只乌龟以每秒1厘米的速度前进，正方形的房子每边长3米，每只乌龟需要多长时间才能爬到中心？当然，在解决问题时，我们可以把乌龟当作一个点。

比萨先生拿出他的计算器，并计划使用他的计算能力。这时，比萨太太喊道，“别数了，亲爱的，问题很简单，需要5分钟！”

比萨太太是怎么想出来的？

我们只是简单地检查两个相邻的海龟，比如A和b。A总是不相关的。这是一种效果，乙不在角落移动，甲沿着墙直接爬向乙。

上述思想是解决问题的关键。路线和每堵墙的长度一样。因为墙有300厘米长，而甲的移动速度是每秒1厘米，它肯定需要300秒，也就是说，5分钟才能到达乙。其他三只乌龟也是如此，所以5分钟后，四只乌龟同时到达广场的中心。

借助于计算器，我们不难在很短的时间间隔内画出海龟的位置，并将每一时间间隔内四只海龟的位置依次连成一条线。结果，形成了图10所示的图形。

图10

对于正多边形的角上的所有点有类似的规则吗？请首先研究正三角形，然后研究正五边形。如果你知道正多边形的边长，并问乌龟为了赶上前一只乌龟必须走的路的长度，你能找到一个通用公式吗？如果是无限多的海龟，同时从一个规则的无限多边形的四角开始，依次首尾追逐，结果会是什么？他们永远不会在一起吗？再假设原来的多边形不是规则的正多边形，例如，四只乌龟同时从一个矩形的四个顶点开始，结果会是什么？

回到我们最初的例子。如果四只小乌龟在房间的中间相遇，发现他们都互相厌恶，他们背对着对方爬走了，每只乌龟都径直离开了它左边的小乌龟，四只乌龟会回到房间的四个角落吗？