《啊哈!灵机一动》－口香糖问题

它值多少钱？

第二个口香糖问题是对第一个问题的简单改变。可以用同样的想法来解决。在这个问题中，前三个球可能是不同的颜色——红色、白色和蓝色。这是没有达到预期结果的最长的安排。第四个球必须与前三个球中的一个相同。所以如果你买4个球，你会得到同样的一对球。琼斯夫人必须准备4便士。

简而言之，对于n组球，每组应该准备购买一种颜色的n+1个球。第三个问题更难。史密斯太太是三胞胎而不是双胞胎。口香糖贩卖机里有6个红色球、4个白色球和1个蓝色球。她买三个一模一样的球要多少钱？

如上所述，我们必须首先考虑最坏的情况。史密斯太太买了两个红色球，两个白色球和唯一的蓝色球，一共五个红色球。第六个球必须是红色或白色的。所以要让三胞胎得到相同颜色的球，答案是6p。如果有一个以上的蓝色球，她先抽两种颜色，那么第七个球可以满足三胞胎的要求。

哦！关键在于最坏情况的长度。有些人可能想通过用字母标记11个球来解决这个问题，然后检查所有可能的排列，看看三个相同的球中哪一个最长。但是这个解决方案需要列出所有！= 3931680种排列，即使相同颜色的球没有字母区分，也应该列出2310种排列。

总之，提取相同颜色的k个球的方法如下:有n组球(每组一种颜色，每组至少k个球)，然后为了获得相同颜色的k个球，必须提取n (k-1)+1个球。你还必须研究一个或多个组中的球数小于k的情况。

这个问题的模式也可以应用到其他方面。例如，如果你想从52张牌中抽取7张相同花色的牌，你想抽取多少次？这里n=4，k=7，公式给出的答案是:4 (7-1)+1 = 25。虽然这些都是简单的组合问题，但它们会导致有趣而复杂的概率问题。例如，如果你从n张牌中抽出7张牌(n是从7到24)，并且每次抽出后都不放回(显然，如果抽出少于7张牌的概率是0，如果抽出多于25张牌的概率是1)，同样花色的概率是多少？脾脏被清洗后，被抽中的牌再次被抽中的可能性有多大？一个更困难的问题是:不管牌是否被放回，得到同样一套牌的期望值(概率的平均值)是多少？