数学与文化

本文论述了在各种科学的数学化趋势下，少言寡语而轻视科学语言的数学家的重要地位，分析了影响人类精神生活的数学的几个特征，即确定性、简单性、深刻性、抽象性和自我完善性，高度评价了数学在促进人类思想解放、使人类摆脱宗教迷信和不断创新方面的历史成就。数学被认为是文化兴衰和国家兴衰的顶峰。这些观点是新的，令人耳目一新。为了讨论文化问题，我们可以列出不同的文化部门:科学、文学、艺术、政治、宗教、伦理...请注意，数学也是文化的一部分。教学不同于任何学科，它几乎是任何科学不可或缺的。没有什么科学能像现在这样受欢迎。它是现代科技的语言和工具，很少有人会怀疑。它的思想是许多物理理论的核心，并为它们的出现开辟了道路。很少有人知道这个。它曾经是科学革命的旗帜。现代科学成为现代科学的第一个决定性步骤是将自己数学化。为什么会这样？因为数学在人类理性思维活动中具有一些特征。这些特征的形成离不开每个时代的整体文化背景，也是数学影响人类文化的最突出的一点。我不想概括什么是数学文化，只是想就它对人类精神生活的最显著影响提出一些看法。诚然，其他学科也可能具有这些特征，但它们可能离不开数学的影响。首先，它追求完全确定和可靠的知识。在这本小书里，你可以看到许多人被数学吸引，正是因为数学有这样的特点。例如，欧几里得平面上的三角形内角之和是180，这并不是说“大多数”三角形的内角之和是“在一定条件下”和“在一定误差范围内”的180，而是说所有三角形的内角之和在命题的规定范围内是180。这个特性的原因可以用它的对象和方法来解释。从希腊文化背景中形成的数学对象不仅仅是一个具体的问题，数学不是一种转瞬即逝的知识，而是永恒的东西。因此，数学的对象必须有一个清晰而正确的概念，其方法必须从一个清晰而正确的命题开始，并遵循清晰而正确的推理规则，从而得出正确的结论。通过纯粹的思考，一个人在理解宇宙时可以达到这样的确定性。当然，它会给所有需要思考的人很大的启发。人们自然会在所有领域要求这样做。正因为如此，也仅仅因为如此，数学方法已经成为人类认知方法的一个模型和人类在理解宇宙和人类自身时必须持有的客观态度的一个标准。就数学本身而言，实现数学目标既有逻辑方面，也有直观方面，但与其他科学相比，其逻辑方法在影响人类文化的其他部门中最为突出。这种方法发展成为人们常说的公理化方法。到目前为止，在应用公理化方法方面，没有一个人类知识部门像数学一样成功。然而，我担心今天没有人会接受某个知识群体，如果它仍然只有诊断而没有论据，只是一堆没有逻辑联系和没有一致性的命题。每一个论点都必须有根据和理由。除了逻辑要求和实践检验，几千年的习俗、宗教权威、皇帝的法令和流行的习俗都是无用的。这样一种寻求真理的态度，用理性的思维，用一生去解决伟大而永恒的秘密？？宇宙和人类的真实面目是什么？？？这是人类文化发展到高水平的标志。这一伟大的理性探索是数学发展的重要文化背景，而这又是数学对文化最杰出的贡献之一。数学作为人类文化不可分割的一部分的另一个特点是它不断追求人类感官无法企及的最简单、最深刻和最基本的宇宙。所有这些研究都是由朝廷以极其抽象的形式进行的。这是一个将复杂性转化为简单性以达到统一的过程。从古希腊开始，人们就相信在宇宙的最深处有一个伟大的、统一的、简单的设计，那就是数学设计。毕竟更深入的科学研究，一定有一个信念驱动着我们。这种信念是，世界是合理的，简单的，因此是可以理解的。数学研究还应该增加一件事:这个世界的合理性首先在于它可以用数学来描述。在古代，这种信仰有些神秘。然而，随着现代科学的发展，它经历了许多伟大的综合。随便举几个例子:欧几里德综合；牛顿综合；麦克斯韦综合；爱因斯坦的综合；量子物理学的综合；计算机的出现，哪个时代不或多或少遵循这一信念？可能有例外:达尔文和孟德尔，但是今天，人们正在用数学来讨论物种的进化和竞争以及遗传规律。人们将再次把宇宙的基本定律视为抽象的，至少是数学的蓝图。这不是幻想，而是现实。为什么脱氧核糖核酸的双螺旋结构是在卡文迪什实验室完成的，并从X射线衍射法研究分子结构中获得如此多的好处？难道你看不出这也是一种带有浓重数学味道的结构，它把生命归结为最简单的成分的不同位置、不同形式和不同数量吗？这种深入的研究可以打破迷信，鼓励人们根据最深层的内在规律思考问题。我们惊叹于世界图景的微妙和合理。这种感觉是人类文化精神的结晶。数学在这种文化氛围中成长，这反过来又促进了这种文化氛围的发展。现在应该问的问题是如何评估这种信念。我们也应该看到它的缺点吗？从科学史的角度来看，总是有一种“还原”的趋势:将复杂的现象归因于一些最简单和最原始的因素。物体分为“粒子”和“电荷”。粒子分为分子、原子和亚原子粒子；生物体被分成细胞，然后是细胞核、细胞质、染色体、基因、核酸...一个具有无与伦比的丰富性和多样性的世界的多样性似乎越来越多地被归结为这些称为宇宙的基本组成部分或砖块在数量、形状和结构上的差异。这当然是数学发挥作用的好地方。与此同时，一个越来越深刻的问题出现了:世界真的是这些最简单成分的叠加吗？线性叠加原理是宇宙最基本的定律吗？虽然一座宏伟的纪念碑可以由一堆砖块和石头建成，但马厩也可以建造。他们之间有什么区别？然而，每一个从事数学研究的人仍然持有这样的信念:为了解决这个更深层次的问题，我称之为综合，并称之为归约趋势分析仍然依赖于数学，这将日益被当代数学的发展所证实。数学的另一个特点是，它不仅研究宇宙的规律，而且研究自身。在发挥自己力量的同时，一个人要研究自己的局限，从不担心否定自己。相反，一个人不断反思和批评自己，从而打开自己前进的道路。它一直致力于分析自己的概念和逻辑结构。它不断地反映:它的概念和方法能走多远？自希腊时代以来，毕达哥拉斯认为宇宙是数字(他指的是自然数)，但他遇到了无理数。后来，希腊人不得不采用不可通约理论，因为他们搞不明白，他们根本不会说无理数，也不会讨论一般线段的长度。希腊人甚至不会说数字，这使得希腊的数学与中国等其他民族相比存在缺陷。然而，即使是这种情况，也必须保持高度的纪律，不允许折衷主义。历史最终证明，是希腊人开启了研究无理数的道路。他们学习数学，但同时他们考虑数学研究的对象是否存在。希腊人考虑了数学对象的存在问题，将存在简化为可构造性，然后问道，“有没有可能通过有限的步骤用尺子和圆规三等分任何角度？”因为不清楚这是否可能，也就是说，没有结构方法来证明角三分的存在，他们的几何学根本不会讲角的三分之一，只讲平分线，从不讲角三分线。随着数学的进一步发展，越来越多的“不可能”出现在数学中:x2+1=0不能在实数域中求解，五次以上的方程不能用根公式求解，平行线的公理能被证明吗？直到20世纪初人们才知道它是否能被证明。每个人都说数学最需要严格，所以数学家不得不问什么是严格？每个人都说数学在证明一系列定理，所以数学家不得不问什么是证明？数学发展得越多，成就就越大，越多的数学家会问自己，他们的基础是否牢固。越是看起来没有问题，我们就越需要找到它。乘法显然是可交换的，但我们必须研究不可交换的乘法。孟子挖苦地说:“争辩是不容易的，但却是必要的！”数学家只需要改变一个词:“给予“改变”比*给予更好！”当然，任何科学要发展都必须改变。但只有当它与实际事物、现象或实验结果相冲突时，它才会改变。当理性思维觉得有问题时，只有数学会改变。此外，其他科学中的“变化”趋势往往是由数学中的“变化”直接或间接引起的。当然，数学中许多重要的变化都是由于直觉，即变化是必要的，只有变化才能让人直接看到宇宙的真实面貌。但无论如何，它从思维领域开始，也就是否认自己。这种变化的结果通常是“从无到有创造出一个新的宇宙”一天结束时，数学开始怀疑它自己的整体，并考虑它的力量极限在哪里。大概在19世纪末，数学问自己这样一个问题:“我真的是一个没有矛盾的系统吗？我真的提供了完全可靠和明确的知识吗？我想我在追求真理，但是“真理”到底是什么意思？我已经证明了某些对象的存在，或者我已经创造了我自己的研究对象而没有矛盾，但是它们真的存在吗？如果我真的不能构建这些东西，我怎么知道它们的存在？我是一张空头支票，一张没有银行的支票吗？”简而言之，数学是一棵参天大树，它向天空伸展枝叶吸收阳光。它继续扩张领土，树干上有越来越多的鸟巢。它支持越来越多的学科，并从越来越多的学科汲取营养。它还把它的根延伸到越来越深的理性思考的土地上，使它越来越坚定。从这个意义上说，数学是人类理性发展的最高成就(或者加上“一”这个词更好)。数学对人类精神生活有着深刻的影响，可以用一句话来概括，即它极大地促进了人类思想的解放，提高和丰富了人类的整体精神水平。从这个意义上说，数学让人们更完整、更富有、更强大。爱因斯坦说“要被解放”，这正是他的意思。数学作为文化的一部分，其最根本的特点是它表达了一种探索精神。数学的出现确实是为了满足人类的物质需求。然而，没有这种探索精神，数学就不能满足人们的物质需求。“好天气和好天气”是人类物质生活不可缺少的。但是“巫师”的“祈雨”不也是满足需求的“手段”之一吗？人们总是有这样一个信念:宇宙是有序的，数学家们进一步认为这种秩序可以用数学来表达，所以人们应该探索这种深层的内在秩序来满足人们的物质需求。因此，数学作为文化的一部分，其永恒的主题是“认识宇宙和人类自身”。在这个探索过程中，数学充分发挥了理性思维的力量。它提供了一种思维方法和模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准，并为人类思想的解放开辟了道路。现在每个人都知道实验方法的重要性，但是任何没有一定逻辑思维的科学实验都是没有意义的。这是伽利略时代的情况。他的许多实验都是所谓的理想实验，尤其是在现代。不同的时代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。然而，数学在文化中的地位不能改变，只能日益加强。有些人认为数学是现代文化的核心或基石，一直处于中心地位，影响着人类知识的所有领域。似乎没有必要去争夺“中心”或“核心”的位置，但历史已经证明并将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化注定要衰落，一个没有掌握数学作为文化的国家也注定要衰落。

本文论述了数学文化的几个特征。他们分别从什么角度讨论？第二，找出课文中关于下列主题的讨论，并告诉我们作者是如何将数学定位为一门学科的。1.数学与社会文化的关系。2.数学与其他学科的关系。3.数学中逻辑思维(理性思维)和感性思维(直觉思维)的关系。不管上下文如何，说出下面句子的意思。1.除了逻辑要求和实际测试，几千年来没有习俗、宗教权威、皇帝的法令和流行的习俗。2.难道你看不出这也是一种结构，它把生命总结成最简单、最不同的位置、不同的形式和不同的量，有很强的数学味道吗？3.虽然一座宏伟的纪念碑可以由一堆砖块和石头建成，但马厩也可以建造。他们之间有什么区别？4.没有这种探索精神，数学就不能满足人们的物质需求。“好天气和好天气”是人类物质生活不可缺少的。但是“巫师”的“祈雨”不也是满足需求的“手段”之一吗？根据历史记载，托勒密国王曾问欧几里德，除了他的“原始几何”之外，他还有没有学习几何的捷径。欧几里德回答说:“在几何学中，国王没有出路。”另一次，一个学生做了一个问题，问欧几里德从学习几何中能得到什么。欧几里德要求学生给他三个硬币，因为他想从学习几何中获得真正的好处。请在数学史上找到几个类似的故事，并结合你自己学习数学的经验谈谈你对这门学科的理解。