小学数学知识问答300例—用“公倍数法”解“孙子问题”

180.如何用“常见的多重方法”来解决“孙子问题”？

在中国古代的《孙子兵法》中，曾经提出一个问题:“今天有什么东西不知道它的数目？三个或三个数字中的两个被留下，五个或五个数字中的三个被留下，七个或七个数字中的两个被留下。怎么了？”

它被翻译成现代语言:“我不知道现在有多少文章。三个地方有两篇以上的文章，五个地方有三篇以上的文章，七个地方有两篇以上的文章。这些文章有多少？”这个问题通常被称为“孙子定理”或“孙子问题”。它的解法由来已久，被称为“中国剩余定理”。

用普通乘法解决这个问题的方法如下:首先考虑第一个条件，将剩余的数设为1。从第二个和第三个条件开始，5和7的公倍数是35，但35 \u 3的余数是2，而不是1，而35 \u 2的余数= 70，70÷ 3正好是1，也就是说，可以被5和7整除的数，以及1除以3的余数是70。

考虑到第二个条件，剩余的数字是1。从第一个和第三个条件开始，3和7的公倍数是21，21÷ 5的余数正好是1。这表明能被3和7整除的数和能被5整除的数是21。

然后考虑第三个条件，从第一个和第二个条件开始，这样剩余的数也是1、3和5的公倍数，15÷ 7的余数正好是1，这表明可以被3和5整除的数以及被7整除的数和1的余数是15。

因此，2除以5和7的数是70× 2 = 140。除以3和7，3除以5的数是:21×3 = 63；除以3和5，2除以7的数是15×2=30。满足三个条件的数的和必须具有被3除成余数2、被5除成余数3和被7除成余数2的特征。

140+63+30 = 233，这个结果是正确的，但不是唯一的，因为除数3、5和7的最小公倍数是105，233加上或减去105，并且结果仍然满足主题中的所有条件。然而，当105减小时，在正整数的范围内，差值小于105。

如果在原问题的最后一个问题上加上“至少”，那就是“至少是几何？”那么:233-105-105=23。这23是满足问题条件的最小数。

这个问题的解决办法，在明代程大伟的“算法系统”中，有如下公式:

他们三个七十多岁，有五棵树和21朵梅花。

七个孩子的团聚花了半个月的时间，除了105个孩子，其他人都知道了。

该公式中提到的计算步骤与前面描述的过程类似，如下所示:

2×70+3×21+2×15=233

233-105-105=23

检验:23 ÷ 3 = 7...2 23 \u 5 = 4...3

23 \u 7 = 3 ... 2w