《啊哈!灵机一动》－多余的一个

余数估计

事实上，海伦只数了一下乐队的总数，发现是5的倍数。但是你怎么能不去现场就确定人数呢？

哈。诀窍就在这里。当乐队是在2，3和4列，总是有一个人离开，即斯皮罗。显然，这个特征的最小数是2、3和4加1的最小公倍数。然而，因为最不常见的倍数是12，当被2、3和4整除时，任何大于12乘以1的数都将保持1。

当乐队分成五个纵队行进时，没有人是多余的。因此，该数字必须是5的倍数。因此，这个问题的答案必须是以下一系列数字的倍数:13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145...

对于学校乐队来说，从145人开始太大了，所以尼康的乐队有85或25名成员。至于两者中的哪一个有待确定，我们目前缺乏足够的证据。

这个问题有一个很好的变化，就是说，除了在最后一行2、3、4列中少了一个人之外，其他的问题都和上面的问题一样。乐队现在有多少人？这就要求我们写一串比12的倍数小1并且能被5整除的数字。他们是:35，95，155...

山姆，美国问题专家？洛德先生提出了下面的问题，这与上面的问题有关，但却更加困难。在纽约的帕特里克节，一大群爱尔兰人正在为一年一度的游行做准备。指挥试图把队伍排成10、9、8、7、6、5、4、3和2行整齐的队伍，但每一行都少了一人，所以人们认为这个位置是为几个月前去世的凯西的灵魂保留的。最后，指挥官别无选择，只能命令队伍排成单行前进。假设游行的总人数不超过5000人，有多少人会参加游行？这是一个寻找一系列数字的最小公倍数的绝佳练习。这种情况下最不常见的倍数是2520。如果“卡西”占据的位置被移除，最终答案是2519。

如果每次分配后留下的人数不同，问题似乎就更难了。不完全是。例如，早在17世纪，印度的算术教科书中就有这样一个难题:一名妇女提着一篮子鸡蛋被一匹飞奔的马吓了一跳。篮子里的鸡蛋掉到了地上，篮子里的所有鸡蛋都碎了。当被问及篮子里有多少鸡蛋时，她只记得当她数2、3、4和5组鸡蛋的数量时，她一次还剩1、2、3和4个鸡蛋。她篮子里有多少鸡蛋？

乍一看，这个问题确实比前一个问题难多了。事实上，它和我们做的第二个问题的第一部分是一样的，因为在每种情况下，余数都比除数小1，所以像以前一样，它可以通过找到最小公倍数并减去1来解决。

当余数和除数之间没有固定的关系时，问题就变得非常复杂了。下面是一个基于这种标题的魔术，借助于计算器来完成。你会发现它既有趣又令人困惑。

魔术师坐在椅子上，背对着观众，让某个观众随机决定一个不超过1000的数字，然后他用7去掉这个数字，并引用其余的数字。然后，11用于删除原始的所需数字，然后13用于删除它，并报告剩余的数字。

为了加速魔术，观众用袖珍计算器计算了三个余数。事实上，这可以通过下面的算法很容易地解决:首先完成除法，去掉商的整数部分，然后将剩余的分数部分乘以原始除数，结果就是要找到的余数。

魔术师不仅知道三个余数，还能猜出观众想要的数字，因为他还使用了一个袖珍计算器和粘贴在计算器上一张小纸上的公式:

K=(715a+364b+924c)/1001(其中k是必需的数字)

在该公式中，A、B和C分别代表三个报告的余数，所寻求的数字是由该公式计算的余数。

这个奇怪的公式是这样得到的。第一个系数是b×c的最小倍数，比a的倍数大1。有一个技巧可以找到它。当除数很小时，比如这个问题，很容易得到所需的数。简单地增加b×c的倍数(143，286，572，715...)直到这个数被a除，并且余数是1，即在a=7的情况下，系数是715。

另外两个系数可以用同样的方法获得。第二个系数是a×c的倍数除以B和1的最小数。第三个系数是1除以c的最小次数，是a× b的倍数。公式中低于分数线的系数是从简单的a×b×c b × c导出的。通过这个公式，您可以从作为互素提供的任意一组除数(没有公约数)中导出一个神秘的公式。在这里，除数之间的互素不是一个必要条件。在我们的例子中，它只便于计算。

这个通式的证明需要“模运算”和“中国剩余定理”。这个定理是最有价值的数值定理之一，这些数值定理在许多类似于科学命题的深度证明中起着重要作用。

让我们做一个练习，试着推导一个公式，作为这个魔术的简单复制品。这个练习可以追溯到公元一世纪一位中国数学家的孙子，“中国剩余定理”就是以他的名字命名的。本练习中选择的数字限于1到105，除数为3、5和7。在这种情况下，公式推导非常简单，并且已经被实践了很多次。你甚至可以用心计算。